中考数学压轴题分析:周长最大值问题

最短路径问题特别是将军饮马问题在平时遇到比较多。但是周长的最大值,或者说线段和最大值,此类问题出现的频率不高。不过也是会出现。一般的方式就是利用设未知数表示线段长,利用二次函数的性质进行解题。

【中考题目】

(2020·扬州)如图1,已知点O在四边形ABCD的边AB上,且OA=OB=OC=OD=2,OC平分∠BOD,与BD交于点G,AC分别与BD、OD交于点E、F.

(1)求证:OC∥AD;

(2)如图2,若DE=DF,求的值;

(3)当四边形ABCD的周长取最大值时,求的值.

【分析】

本题实质是一个圆的有关问题,因为点O到A、B、C、D的长度都是相等的。

题(1)证明两直线平行,利用角的平分线与等腰三角形,可以得到结论。

题(2)观察图2可以发现△ABD是等腰直角三角形。可以往这个方向去思考。如下图,根据DE=DF,可以得∠DEF=∠DFE,那么可以得到两个绿色的三角形两对角相等,可以得到∠AOD=∠ACB=90°,就可以得到等腰直角三角形了。

那么利用下面的两个三角形相似,可以得到AF与AE的比值,就是AO与AD的比值即可。

题(3)求四边形的周长的最小值,就是求AD与BC、CD的和最小,也就是求AD+2CD的最小值,可以考虑设其中一个为x,例如CD=x,则BC也为x,再利用垂径定理与勾股定理,表示出BG、CG、OG等的长度,发现AD其实为OG的2倍。然后用配方法或者二次函数的顶点坐标可以求出结论。

【答案】(1)证明:∵AO=OD,

∴∠OAD=∠ADO,

∵OC平分∠BOD,

∴∠DOC=∠COB,

又∵∠DOC+∠COB∠=∠OAD+∠ADO,

∴∠ADO=∠DOC,

∴CO∥AD;

(2)解:如图1,

∵OA=OB=OC,

∴∠ADB=90°,

∴△AOD和△ABD为等腰直角三角形,

∴ADAO,

∴,

∵DE=EF,

∴∠DFE=∠DEF,

∵∠DFE=∠AFO,

∴∠AFO=∠AED,

又∠ADE=∠AOF=90°,

∴△ADE∽△AOF,

∴.

(3)解:如图2,

∵OD=OB,∠BOC=∠DOC,

∴△BOC≌△DOC(SAS),

∴BC=CD,

设BC=CD=x,CG=m,则OG=2﹣m,

∵OB²﹣OG²=BC²﹣CG²,

∴4﹣(2﹣m)²=x²﹣m²,

解得:m,

∴OG=2,

∵OD=OB,∠DOG=∠BOG,

∴G为BD的中点,

又∵O为AB的中点,

∴AD=2OG=4,

∴四边形ABCD的周长为

2BC+AD+AB

=+

=

=,

∵<0,

∴x=2时,四边形ABCD的周长有最大值为10.

∴BC=2,

∴△BCO为等边三角形,

∴∠BOC=60°,

∵OC∥AD,

∴∠DAC=∠COB=60°,

∴∠ADF=∠DOC=60°,∠DAE=30°,

∴∠AFD=90°,

∴,DFDA,

∴.

(0)

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