《數書九章》之“斜蕩求積”題詳解
《數書九章》之“斜蕩求積”題詳解
上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo XiāngGuǎn 112
何世強 Ho Sai Keung
提要：秦九韶之《數書九章》有“斜蕩求積”一問，此問涉及“三斜求積”之術。“三斜求積”術乃求任意三角形面積之公式，其實本題只用勾股定理即可。
關鍵詞：斜蕩、三斜求積
斜蕩求積
本文取材自南宋‧秦九韶之《數書九章》﹝又稱為《數學九章》﹞卷三上。本題單位為里，但答案要求為畝。
問：有蕩一所，正北濶一十七里，自南尖穿徑中長二十四里，東南斜二十里，東北斜一十五里，西斜二十六里，欲知畆積，幾何？
荅曰：蕩積一千九百一十一頃六十畆。
術曰：以少廣求之。置中長乘北濶，半之，為寄。以中長冪減西斜冪，餘為實，以一為隅，開平方得數減北濶，餘自乘，併中長冪共為內率。
以小斜冪併率，減中斜冪，餘半之，自乘於上，以小斜冪乘率減上餘，四約之為實，以一為隅，開平方得數，加寄共為蕩積。
草曰：以中長二十四里乘北濶一十七里得四百八，乃半之，得二百四里為寄。以中長自乘得五百七十六為長冪，以西斜二十六里自乘得六百七十六為大斜冪，以減長冪，餘一百里為實，開平方得一十里，以減北濶數一十七里，餘七里，自乘得四十九里，併長冪五百七十六，得六百二十五為內率。
次置東小斜一十五里，自乘得二百二十五為小斜冪，又置東南中斜二十里自乘得四百為中冪，却以小斜冪併率得八百五十，以減中冪四百，餘四百五十，乃半之，得二百二十五，自乘得五萬六百二十五里于上。又以小斜冪二百二十五乘率六百二十五得一十四萬六百二十五，減上餘九萬里，以四約得二萬二千五百為實，開平方得一百五十，併寄二百四里，得三百五十四里為泛。
以里法三百六十自乘得一十二萬九千六百歩，乘泛得四千五百八十七萬八千四百歩，以畆法二百四十歩約之，得一千九百一十一頃六十畆為蕩積。
解：
“蕩”，淺水之湖曰“蕩”。非正曰斜，非正形之“蕩”曰“斜蕩”。今有蕩，其圖如下：
今求斜蕩ABCD 之總面積，連 BD，設其長為 c，BE為ΔBCD之高，即上圖之長 24 里，如下圖所示：
斜蕩之總面積乃 ΔBCD 與 ΔABD 面積之和，今先 ΔBCD 面積及求 c，求出 c 後，再求 ΔABD 之面積；故本題之“術”及“草”皆分成兩部分。
“斜蕩求積”其實乃“三斜求積”之引申，即計算本題可用“三斜求積”之公式。現將“三斜求積”之公式重述如下：
有一三邊不等之三角形 ABC，今設“大斜”為 a，“小斜”為 c，“中斜”為 b；各邊所對應之角分別為 A、C 及 B 如下圖：
其面積可從下式而得，以下即卜公式：
。其實最長之邊不一定安排在下方。
本題之ΔBCD 面積 =
× 24 × 17 =
× 408 = 204﹝方里﹞。此即“中長二十四里乘北濶一十七里得四百八，乃半之，得二百四里為寄。”
“寄”乃代名詞，即代表某一數，與下文之“泛”相同，即現代所云“設 204為 a”， a 是為“寄”。
24 是為中長，242= 576 是為中長冪，26 是為西斜或稱為大斜，262= 676 是為西斜冪或稱為大斜冪。
於是可得方程式：
204 =
，右方乃面積公式。
2042=
× [195364 –
]
166464= 195364 –
= 28900
= 170
965 – c2= 340
c2 = 625
c = 25。是為 BD 之長。625 是為“內率”，但無說明此乃 BD 之平方。
《數書九章》草曰：
以中長自乘得五百七十六為長冪，以西斜二十六里自乘得六百七十六為大斜冪，以減長冪，餘一百里為實，開平方得一十里。
在直角三角形 BEC 中，依勾股定理可知 262 – 242 = 676 – 576 = 100，√100 = 10，此乃EC 之長，見上圖。
又曰：
以減北濶數一十七里，餘七里，自乘得四十九里，併長冪五百七十六，得六百二十五為內率。
即 17 – 10 = 7，此乃 DE 之長，見上圖。
在直角三角形 BED 中，DE2 + BE2 = BD2，即 72+ 242 = 49 + 576 = 625，是為“內率”。併，加也。
以下為求 Δ ABD 面積之算式﹝已知 a = 15 ，b = 20， c = 25﹞：
Δ ABD=
﹝“三斜求積”公式﹞
=
=
=
=
= 150。
另法：
因為 202+ 152 = 400 + 225 = 625 = 252 ，即 Δ ABD 是一直角三角形，則其面積為 =
× 20 × 15 = 150。
《數書九章》草曰：
次置東小斜一十五里，自乘得二百二十五為小斜冪，又置東南中斜二十里自乘得四百為中冪，却以小斜冪併率得八百五十，以減中冪四百，餘四百五十，乃半之，得二百二十五，自乘得五萬六百二十五里于上。
AD2 = 152= 225 是為小斜冪，AB2 = 202= 400 是為中冪。
小斜冪併內率得225 + 625 = 850。
以減中冪四百，餘四百五十，即 850 – 400 =450。
乃半之，得二百二十五，自乘得五萬六百二十五里于上即
(450 ÷ 2)2 = 2252 = 50625。
以上即 AD4，亦用於以下之算式：
又以小斜冪二百二十五乘率六百二十五得一十四萬六百二十五，減上餘九萬里，以四約得二萬二千五百為實，開平方得一百五十
以上即 225 × 625 – 2252 = 140625 – 50625 = 90000。“以四約”即除以 4。
其後得
=
= 150。
其算法理由如下：
Δ ABD=
=
=
=
=
=
=
=
=
= 150。
總面積 =Δ BCD + Δ ABD = (204 + 150) 方里 = 354 方里
此即“併寄二百四里，得三百五十四里為泛。”
“寄”是上文之 204 方里。
354方里合354 × 3602 方步，即 45878400 方步，240 方步合一畝，
共
畝，即191160 畝。
以上即“以里法三百六十自乘得一十二萬九千六百歩，乘泛得四千五百八十七萬八千四百歩”。
“泛”即 354 方里。
因 100 畝為 1 頃，即1911 頃 60 畝。
此即“以畆法二百四十歩約之，得一千九百一十一頃六十畆為蕩積”。
附注：
上述算法秦九韶與筆者不同，因為三邊之安排不同，故步驟有異，但所得之結果相同。
在《數書九章》中“三斜求積”之題置於“斜蕩求積”之前，即後題可能用前題之公式，故筆者於本題用“三斜求積”公式二次，第一次用作求 ΔBCD 之 BD 之長，第二次用作求 ΔABD 之面積。
秦九韶先以勾股定理求 ΔBCE 之股 EC，再求出DE，仍以勾股定理求 ΔBDE之弦 BD，但用相關“三斜求積”之公式求 ΔABD 之面積。
以現代數學而言，可用勾股定理求 BD，亦可用勾股定理証明 ΔABD 為直角三角形，故其面積為勾股積之半，若以此法求“斜蕩積”，則不須用“三斜求積”公式，三法中以此法為最簡捷。
以下為“斜蕩求積”之原文：