图解普林斯顿微积分(重制) 06:三角函数的极限和导数
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本章主要内容:
● 三角函数在小数、大数以及其他变量值时的行为;
● 三角函数的导数;
● 简谐运动.
▌7.1 三角函数的极限
考虑下面两个极限, 唯一区别是, 左边极限考察的是在
趋于
, 而右边在
趋于无穷大取的极限. 也就是需要留意是在很小很小数, 还是很大很大的数上取得极限.
▌7.1.1 小数的情况
事实表明,
和
在
附近近似相等, 观察下面
在
和
直接的图形, 当
非常非常小的时候,
近似等于
, 那么
成立.
▌7.1.3 大数的情况
▌7.1.4 "其他的"情况
如果计算
趋于
的极限, 这里
, 这里有一个解决的方法, 就是用
做替换, 将问题转化为
趋近于
, 比如下面的例子:
▌7.1.5 一个重要极限的证明
▌7.2 三角函数的导数
现在把所有三角函数以及反三角函数做个总结(公式自: 中文维基百科).
▌7.2.2 简谐运动(Simple harmonic motion)
三角函数经常会用来描述弹簧的震荡运动. 设
是弹簧振子在时刻
的位置, 取向上的方向作为正方向, 那么描述
的方程大致类似于
. 类似也可以用余弦来代替, 因为两者总是来回震荡, 而这类运动就被称为简谐运动.
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