与相似三角形有关的压轴题(8)

在很多与相似三角形相关的压轴题中，其中常见的一种题型就是相似三角形的存在性讨论。对于相似三角形的存在性问题，一般来说，会有一组等角，然后从边或从角的角度进行分类讨论：

通常，我们还可以借助基本图形分析法，找到边与角的数量关系，从而完成上述问题的讨论。

问题背景1：

解法分析：本题的图形背景是一个含斜边的定直角三角形▲ABC，以及与已知直角三角形▲ABC相似的动直角三角形▲CPQ（P为动点），始终存在∠DCB=∠ABC，以及∠Q=∠A。

对于本题的第1问，利用“等角的锐角三角比相同”，即∠DCB=∠ABC，利用两角的余弦值相同，求出PD的长。除此以外，也可利用“相似三角形对应边成比例”求出PD的长。

对于本题的第2问，相对于第1问，改变的就是把“数字字母化”，完全按照第1问的解题方法就可以得到y关于x的函数关系式。对于定义域，即考虑Q与B重合的极端情况时的x值即可。

对于本题的第3问，▲ACD与▲PBQ相似，已经存在一组等角∠A=∠Q，因此可以从两条路径入手进行分析：

①从边的角度进行分类：∠A的夹边时AC与AD，其长度分别是6和5；∠Q的夹边是PQ与BQ，BQ的长度为y，PQ的长度的可以利用sin∠DCB，用含x的代数式表示。然后利用AC:AD=PQ:BQ或AC:AD=BQ:PQ表示即可。

②从角的角度进行分类：即∠A=∠BPQ或∠A=∠PBQ。当等角出现时，其中的基本图形也会相应显现。

当∠A=∠BPQ时，利用“等角的余角相等”，得到一组共边共角型相似三角形，即▲CDB∽▲CBP。利用边之间的比例关系，得到PD的值。

当∠A=∠PBQ时，可以得到∠ABP=90°，此时构造“一线三直角模型”，利用锐角三角比和勾股定理，得到边之间的数量关系，从而求得PD的值。

问题背景2：

解法分析：本题的图形背景是一个确定的锐角三角形▲ABC，其中PQ是平行AB的动线段，随着P在线段BC和BC延长线上的运动，会有以下两种情况的图形，以及由此产生的基本图形：

对于本题的第1问，由于BP=3，因此P在线段BC上，利用两组基本图形，可以借助比例线段得到AD的长。

对于本题的第2问，不仅变化的是数字到字母的过程，同时还根据P的位置不同，画出不同的图形，再写出相应的函数关系式，利用同第1问相同的方法进行问题解决。

对于本题的第3问，▲ABC与▲DEQ相似，已经产生了一组等角：∠A=∠AEQ，而∠Q=∠ABD<∠ABC，因此只有∠Q=∠C相等这一种情况，有此产生一组共边共角型相似三角形：▲ABD∽▲ABC，求出AD的长度后得到BP的长度。

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