每日一题340：线性代数知识在空间解析几何线、面关系讨论中应用典型题分析
练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习340：(1) 证明三个平面, , 经过同一直线的充要条件是
(2) 设矩阵是满秩的，其中
试讨论两直线
的位置关系.
(3) 试讨论三个平面
的位置关系．
先自己思考，动手尝试探索一下解题思路与解题过程，写写解题步骤，然后再对照下面的答案！
【注1】每日一题参考解答思路一般不仅仅是为了解题，而重在分享、拓展思路，更多重在基本知识点的理解、掌握与应用！参考解答一般仅提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过公众号会话框或邮件以图片、或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
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练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习340：(1) 证明三个平面, , 经过同一直线的充要条件是
(2) 设矩阵是满秩的，其中
试讨论两直线
的位置关系.
(3) 试讨论三个平面
的位置关系．
【参考解答】：(1) 从三平面的方程可以看到，三平面都经过原点，因此只要证明它们再经过另外一点即可．由三个平面方程构成的方程组为
经移项，方程组转换为标准齐次线性方程组形式
该线性方程组的系数矩阵为
要线性方程组有非零解，则需要系数矩阵对应的行列式等于0，即有
即．
(2) 两直线的位置关系的讨论，通过它们的方向向量及上面的点来讨论．记直线 上的一点和方向向量分别为
则，于是（结果等于0通过第二行加到第一行，得到第一行与第三行相同的行列式直接得到）
即两直线共面，又因为矩阵满秩，即 ，用行列式的第一行减去第二行，第三行乘以后加上第一行，即有
这也表明中间的行列式第一行与第三行不会成比例，即两条直线的方向向量不平行，所以两直线相交．
【注】：直线位置关系讨论的相关知识点.
① 两方向向量垂直，数量积为零
②两方向向量平行，对应坐标分量成比例 ；
两直线重合；
如果两直线仅仅是平行，则有不平行于．
③两直线相交：直线相交 两直线的方向向量与向量 的混合积等于零，即
且不平行于．
④ 两直线异面
(3) 三平面的关系，相当于讨论三个平面之间，两两平面之间交点的多少，也相当于求三个平面方程构成的线性方程组解的存在性；而解的存在性又可以通过系数矩阵和增广矩阵的秩以及系数矩阵行或列向量之间的线性相关性来讨论．设三个平面方程构成的线性方程组为
它的系数矩阵和增广矩阵分别为
为的行向量．
① 如果，则方程组有惟一解，即三个平面相交于一点．
② 如果，则方程组无解，三个平面不相交．因为，线性相关，即
当均不为零，三平面中任意两个平面的交线与另一平面平行；当中有一个为零，三平面中有两个平行，另一个平面与这两个平面相交．
③ 如果，方程组有无穷多个解，并且三个平面相交于一条直线．因为， 线性相关，即
当均不为零，三平面互异；当中有一个为零，三平面中有两个平面重合．
④ 如果 ，方程组无解，三平面不相交，又，所以三平面平行，又因为，所以三平面中至少有两个平面互异．
⑤ 如果，三平面重合．
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