张国治——欣赏数学中的不变量与不变性质
【作者简介】张国治，第二中学数学教师、科研室主任，从事基础教育工作21年。中小学高级教师、自治区特级教师。曾获“全国模范教师”“全国中小学优秀班主任”“自治区有突出贡献优秀专家”“兵团英才”“首届李吉林卓越教师支持计划教师”“高中数学联赛优秀教练员”等荣誉称号，是乌鲁木齐首届名师课堂大赛一等奖获得者。
张国治在教学工作方面，坚持以学生为中心，不断进行教育教学改革和创新，曾辅导学生参加全国数学联赛、西部奥赛、女子奥赛等竞赛获得全国一等奖及金银铜牌约40人次，所教学生近50人考入清华、北大等名校。在科研工作方面，张国治始终践行以研促教，教研结合的理念，先后在《数学传播》（台湾）、《数学教学》《数学通讯》《数学通报》等十余种期刊发表学术论文120余篇，参与出版著作6部。主持并完成多项自治区级和市级课题并获得自治区、市级一等奖。同时，积极鼓励学生参与科研，指导学生在国家级、省级期刊发表论文30余人次，在各类论文竞赛中获得一、二等奖50余人次。2012年，被选为《中学数学》第11期封面人物；2016年，成为《数学教学》60年刊庆特邀作者之一；2018年，成立学校首个“潮汐数论社”，使兵团二中成为新疆唯一一个写作联盟学校。现为全国新青年数学教师工作室成员、数学史与数学教育（HPM）工作室高中教师网络研修班成员、乌鲁木齐高中数学名师工作室成员、兵团二中张国治名师工作室主持人，同时兼任自治区模考命题专家、石河子大学及新疆师范大学国培专家。
欣赏数学中的不变量与不变性质
张国治1,2
（1.第二中学，新疆 乌鲁木齐 830002;
2.新青年数学教师工作室，上海 200062）
名言：数学中到处都是变与不变的矛盾统一．万变不离其宗，数学研究变化，却以找到其中的不变性作为归宿．寻求并欣赏数学中无处不在的不变性质，领略不变量和不变性的内在魅力，是把握数学的钥匙之一.
出处：张奠宙.万变不离其宗—数学欣赏：欣赏数学中的不变量与不变性质[J]高中数学教与学，2012（1):1-3.
纷繁大千世界变幻莫测，量变质变并存.若拨开云雾，便如俗话所说：“万变不离其宗”.在繁杂多样的变化中，往往隐藏着某种不变的规律.只有我们透过表象洞察其根本，方能于“万变”中揭示出“不变”之根本.在科学上称之为守恒，在数学上则称之为不变量(invariant).
张奠宙先生的这段有关数学中“变”与“不变”的论述从哲学辩证的角度阐明了万物皆变，万物皆动的事实.止是相对的，但变化是绝对的.而数学，就是要在数量变化中寻求其中的不变因素．
在中小学数学的学习过程中，随处可见各种变化：代数式的变形、方程的变式、函数性质的变化、图形的变换、方程与曲线的表示诸如此类.中小学数学也是对其中的一些变化，寻究其中的不变量和不变性质，则会撩拨纷繁表现，领悟数学纯粹之美．
从某种意义上说，现代数学就是研究各种不变量的科学.20世纪最重大的数学成就之一—阿蒂亚-辛格(Atiyah-Singer)指标定理，就是描述了某些算子的指标不变量；影响深远的陈省身示性类(Chern class),正是刻画许多流形特征的不变量.一些代数不变量、几何不变量、拓扑不变量的发现，往往是一门学科的开始.
1.代数中的不变性.
许多数学定理和数学运算都是对一种不变性的描述.代数中更是比比皆是.数学课程中，最早出现的算术运算律是加法交换律a+b=b+a，这是描写加法运算的不变结果；无论a、b有怎样变化，这个等式永远不变.仅此一例就可窥见数学中的不变性质了.数学上比较比较深刻的结论，通常称之为定理.所有的定理都是在满足条件的无数变化中，找到了其中的不变性质.可以说，数学定理是要说明某些对象在一定条件下是万变不离其宗的.如代数学中的韦达定理，体现了无论一元二次方程的系数怎样变化，根与系数的内在联系不变得性质.
在数学问题中，抓住问题中的不变因素，是我们破解问题的关键点.比如小学生都知道，解有关年龄的应用题的时候，两个人的“年龄差”不变是个关键.抓住这一点，往往可以使问题迎刃而解.而中学生也知道，方程两边同时加上或减去一个数或代数式，方程样子变了，但其解没有变.抓住了这一点，才能用移项的办法化简方程，求解方程.同样对等式两边同时实施四则运算，所得结果还是等式，若对等式两边可以取对数、求导、积分等运算其结果还是等式.
数字中也存在许多神奇的不变性，如著名的回文数、缺8数、欧拉数、立方数、三角数、完全数、亲和数、水仙花数、哈雷数、卡普里加数、数字“黑洞”等，其中的数字运算不变性令人着迷，是数学纯美的艺术；由黄金分割、斐波那契数列与分形几何等交织而成的所呈现出的不变性，则让人回味无穷，叹为观止！
2.几何中的不变性
几何学中关于不变性的定理和结论更多.例如，任一对对顶角必然相等，著名的勾股定理、多边形外角和公式、“蝴蝶定理”、欧拉公式、拓扑学中若当定理、分形几何中每一组成部分都在特征上和整体基本相似的不变性，等无不体现着变与不变的矛盾统一.更令人惊叹的是三角形重心垂心内心等概念的形成．两条直线交于一点无可厚非，到了第三条中线，或第三条高第三条角平分线也不偏不倚地与前面两条正好交于同一点．这就太奇妙了，造物的安排竟如此之巧.图形经过旋转、平移、反射等变换，但图形的形状和大小都不会改变，图形上两点间的距离也是不变的.按比例放大、缩小的的时候，角度是不变的.显而易见，利用图形在变化过程中的不变性，常常可以找到巧妙的解题技巧.
立体几何中也有许多不变量和不变性，如球面上的点无论怎样变化，总保持到球心的距离不变.著名的涉及几何求积的祖暅原理，夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，无论几何体的形状千变万化，但截得的两个截面相等，必然有两个几何体体积相等这一不变性.而利用祖暅原理求球的体积堪称经典.而空间求点到平面的距离常常构造四面体利用体积相等这一不变性获解，立体几何中的折叠问题更是抓住不变性所获解的.事实上，许多平面几何和平面解析几何的不变性在立体几何中仍然成立.
除此之外，分形几何具有不变性特征：自相似性．自相似性是指局部是整体成比例缩小的性质．也体现了图形变化中的不变性.采用分形几何学知识可以深入研究那些用欧式几何难以描述的复杂对象，如绵延万里的海岸线、跌宕起伏的山脉、参差不齐的断面、纵横交错的血管，以及变幻莫测的股价走势等.
3.向量中的不变性
向量是数形结合的最佳载体，它将代数几何融为一体.向量中加(减)法、向量数乘、向量数量积等各种运算和运算律也无不体现着不变性.
但其中总有不变性、规律性，将之提炼出来，就是函数的性质．比如某些变化会随着一个量的变化而有增有减有快有慢，有时达到最大值有时处于最小值，有些变化会有规律，或重复出现，或对称出现……这些现象反映到函数中，就成了单调性、最值、周期性、偶性等性质．知道了函数性质，也就把握了函数变化的规律，掌握了函数的知识，领悟了函数的思想．另外，函数中的“不动点”、“稳定点”等无不散发着不变量和不变性的内在魅力.
5.概率中的不变性
概率统计中，随机性和规律性是随机现象对立统一的两面，人们更容易认识到随机性，却将规律性埋没了许多.日常生活中，经常会遇到一些无法事先预测结果的事情，被称为随机事件.例如，抛掷一枚均匀硬币，它将正面朝上还是反面朝上；购买本期福利彩票是否能够中奖……这些事情结果都有不确定性.但当我们把随机的事情放在一起时，它们可能会表现出令人惊奇的的规律性.例如，将同样的硬币抛掷上万次甚至几百万次，我们会发现硬币正面向上的次数非常接近总次数的一半,概率是频率的稳定值.作为概率论理论基石的大数定律以数学的形式表述了大量重复试验中随机事件的统计规律，指出了随机事件发生的频率具有稳定不变的事实.概率的不变性在生物上的一个卓有成效应用即奥地利人孟德尔发现了生物遗传的分离定律和自由组合定律，并由此引发了一场人类对生命认识的革命.同样，优生学的奠基人英国的高尔顿发现了呈现不变性的回归效应，人的生理结构是稳定的，所有有机组织都趋于标准状态.比利时统计学家凯特勒发现，人类几乎所有的精神和物理特征都呈现正态分布（不变性）：身高、体重、脑重量、智力等，所有这些特征，总是呈正态分布，正是这种不变性，为这个纷乱的世界建立了一定的规则和秩序.
6.艺术中的数学不变性
数学在音乐和绘画艺术之间存在深刻、多方面的联系，其中有诸多的不变性.我们熟知，音乐是听觉艺术、时间艺术，绘画是视觉艺术、空间艺术.而在数学中恰好有研究与时间、空间相关的学问.
音乐科学的基础表面上是物理，但实质上是数学.从乐器的制造来说，都遵循不变的梅森定律，而作曲又和黄金分割密不可分，最令人惊叹的是用数学研究音乐的音阶体系、声学理论及旋律配合法等这一系列最高成就与法国数学家傅里叶（B.J.B.Joseph Fourier)的工作分不开. 他证明了，无论是噪声还是乐音，复杂还是简单的旋律，都可以用数学语言给以完全描述.即音乐中不变的本质即是数学上的不变性，傅里叶定理指出“任何一个周期函数都可以表示成正弦函数之和，而且正弦函数中各项的圆频率是其中最低一项圆频率的倍数”.自从有了傅里叶定理，世界上不管雷鸣、鸟啼、人语或是乐器的鸣奏，都可以归结为简单的声音组合，呈现在数学中统统都是正弦函数.人们终于认识到，世界上声音如此丰富，却又如此简单！
而绘画艺术与几何完美结合，利用透视学和立体几何原理、黄金分割成为绘画艺术的顶峰，同时从艺术中诞生了几何学的新分支——射影几何学.正如艺术大师达·芬奇所说，“任何人类的探究活动也不能成为科学，除非这种活动通过数学表达方式和经过数学证明为自己开辟道路”，他创作的《最后的晚餐》《蒙娜丽莎》《丽达》《岩间圣母》等艺术珍品都是透视学的最好典范.若认为欧式几何是研究刚体运动下保持不变的性质，射影几何则研究在射影变换下的不变性.而射影变换中突出的不变性是交比不变.笛沙格定理及其逆定理、巴斯嘉定理、布利安桑定理、对偶原理所呈现出来的不变性深刻的刻画了同一物体的相同射影和不同射影所形成的几何图形的性质.
7. 结语
不变量(invariant)是数学的中心概念之一，且运用广泛.简单纯粹的概念恰是世间瑰宝.正如张奠宙先生所说，世间万物都在变化之中，但只说事物在“变”，不能说明什么问题.科学的任务就是要找出“变化中不变的规律”.正如一个民族必须与时俱进，推陈出新，但是民族的传统精华不能变.京剧需要革新，但京剧的灵魂不能变.纵使古典诗词的内容千变万化，但是基本格律不变.自然科学中，能量守恒、动量守恒；化学反应中方程式的平衡，分子量的总值不能变.总之，唯有找到变化中的不变性不变量，才有科学的、美学的价值.
事实上，数学家的眼光，常常盯住的是变化中的不变的东西.正是这些不变的东西，把变化中的不同镜头联系起来，形成一个揭示本质的片段，帮助我们认清变化的本质，帮助我们解决各种问题.
注：特别感谢香港城市大学商学院程似锦对本文的校订.
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【来源】 文卫星数学生态课堂。