扇形动点垂足三角形,内外心轨迹模型

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有这么一道题:

猛地一看没有头绪,关键是G点不知其轨迹

不妨先探寻一下内心轨迹,顺便看看外心轨迹

外心更简单,先看外心

演示一下很明显:证明怎么办?

证明也很简单:

演示下内心:

居然是直线轨迹!怎么证明?

证明方法比较复杂(解析法也许可以,略)

如下辅助线:

辅助线的基本思路是构造邻等对补模型

点击查看:

邻等对补四边形的性质结论汇总

PDEK为邻等对补四边形!

借助邻等对补得到很多的结论

通过以上可以得到K的轨迹为直线BK

BK的方向不变!GK垂直于BK

补圆的作用是证明DE为定长,进而得到KG定长

总结下来证明思路就是先证明K的轨迹为直线BK,再证明G到直线BG的垂线段为GK,且GK是定长,这样就说明G的轨迹为平行于BG的直线

这样一开始的问题就迎刃而解了!

PG垂直于BC,圆线距离模型,

相当于取拱桥的高最大

计算略

这还没完,在证明中我发现120度并不是决定性条件

换个度数试试:

外心

依然圆弧轨迹

证明略

内心:

依然直线轨迹,证明方法同上,构造邻等对补就行了!

其他度数也一样道理:

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