数学方法 | 换元法（“数学思想方法导引”第31讲/共36讲） / 开普饭

第31讲摘要：解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法，又称辅助元素法、变量代换法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化。

使用换元法要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。

换元法常用于8种情境：均值代换、轮换对称代换、整体代换、常数代换、插值代换、和差代换和三角代换。对于所研究的问题，如含有多个数字或代数式，并已知它们的和或积，可以取这多个数字或代数式的平均值作代换。均值代换的本质就是消元，减少元的个数。对于关于轮换对称式的问题，一般可作轮换对称代换，目的在于改变原有结构形式，更好地把握原有代数式的结构特征。有时我们会将整个解析式用一个字母来表示的代换，这样的代换我们成为整体代换。在一些具体问题中，我们常用到一些数字的变式形式进行代换，有时也可以把一个常数令为一个字母作代换，这类代换称为常数代换。这一代换看似把问题复杂化，实际上是把问题一般化，更便于看清问题的本质。从问题条件或对立的角度考虑，把影响问题解决的数或式进行反向代入，以促成问题的有效解决，这类代换称之为逆向代换或反向代换。在有些代数式变形中，我们运用拆分思想进行插值变换，这种变换富于创造性，对某些问题特别有效。对某些问题，作和差变换也可使问题得到简化。有些代数式的化简，常常借助于它们与三角函数知识间的联系进行换元，这种代换称之为三角代换。

总而言之，换元法可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。我们在解决一些数学问题时也要灵巧的选择合适的换元法将复杂问题简单化。