模拟退火算法超详细教程，请收好！
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今天，小编将带大家学习一个经典算法——模拟退火算法。
以下为本文框架：
一、什么是模拟退火算法？
模拟退火算法（simulated annealing，SA）来源于固体退火原理，是一种基于概率的算法。
算法思想为：先从一个较高的初始温度出发，逐渐降低温度，直到温度降低到满足热平衡条件为止。在每个温度下，进行n轮搜索，每轮搜索时对旧解添加随机扰动生成新解，并按一定规则接受新解。
打个比方：
有一只兔子在山上，要去山脚下，但它喝醉了。于是它就胡乱瞎蹦跶，有可能直接蹦跶到山脚下，有可能蹦跶到更高的另一座山，也可能跳到某个山谷里。等它醒酒后，它就慢慢地往低处走。这就是模拟退火。
为更好理解模拟退火算法的具体步骤，我们来举个栗子。
假设初始温度为1000℃，温度衰减系数α = 0.98，热平衡条件为温度小于T℃。
模拟退火算法本质是双层循环，外层循环（上图左侧彩色模块）控制温度由高向低变化，温度计算公式 ， 为取值在[0, 1]上的温度衰减系数，如0.95；内层循环（上图右侧黑色模块）中，温度固定，对旧解添加随机扰动得到新解，并按一定规则接受新解。内层循环的迭代次数称为马尔科夫链长度，如上图中的马尔科夫链的长度为1000.
二、模拟退火算法有什么优点？
模拟退火算法的优点在于：不管函数形式多复杂，模拟退火算法更有可能找到全局最优解。
举个栗子：寻找目标函数f = x + 10 sin(3x) + cos(x) 在[0, 9]范围内的最小值。
从函数图像可以看到，该函数在[0, 9]范围内有多个“坑”，也就是局部最小值，全局最小值位于[1, 2]范围上的“坑”内。如果用梯度下降法来求解全局最小值，若学习率设置得不合理很容易掉进某个坑内出不来，比如这样↓
而模拟退火算法相对来说不会那么容易陷入局部最优解。
我们把模拟退火算法求出的解看成是一个红色的小球，可以看到，随着温度的下降，这个小球一直反复横跳；直到温度较低时，这个小球才在最小值附近稳定下来。
那模拟退火算法是怎么跳出局部最优值的呢？
关键点在于模拟退火算法对较差的旧解的处理上。
在任一温度时，对初始解添加随机扰动产生新解，若新解的目标函数值优于旧解，则接受新解；若新解差于旧解，则按一定概率接受旧解，从而有一定概率跳出局部最优解，找到全局最优解。
而这个“一定概率”也不是瞎取的，这个概率的计算公式为： 。其中， ， 为新解的目标函数值，为旧解的目标函数值，T为当前的温度，k为玻尔兹曼常数。温度越高，算法接受新解的概率越高。这个根据一定概率选择是否接受差解的方法叫做Metropolos准则。
三、模拟退火算法有什么缺陷？
模拟算法虽好，但也存在一些缺点。
1. 初始温度和马尔科夫链长度的设置问题
从理论上来说，初始温度越高，且马尔科夫链越长，算法搜索越充分，得到全局最优解的可能性越大，但这也意味着需要耗费更多的计算时间。接下来我们采取控制变量法做个实验来验证一下这个结论。
从图中可以看到，随着迭代次数的增加，温度逐渐降低，马尔科夫链长度1000的模拟退火算法在迭代100多次之后搜索到了全局最小值，而马尔科夫链长度100的模拟退火算法则无法搜索到全剧最小，困在局部最小的坑里出不去了。这说明，马尔科夫链长度越长，模拟退火算法搜索越充分，更容易搜索到全局最优解，但相应的搜索时间会更长。
再来看一下初始温度T0对结果的影响。
可以看到，初始温度100和初始温度1000的两个模拟退火算法都能搜索到全局最小值，初始温度1000的搜索到全剧最小的速度稍快一点。
2. 退火速度问题
温度衰减系数越小，温度下降越快，对应的迭代次数也就越少，算法搜索的次数也就越少，因此导致了上图中温度衰减系数0.9的模拟退火算法没有搜索到最优解。
另外，越到后期，温度衰减得越慢，但是我们可以将温度衰减系数设置为动态的，即随着温度下降，温度衰减系数也随之变小，如 ，以加快后期温度下降，加速算法收敛。
总结一下，关键参数是马尔科夫链长度和温度衰减系数，马尔科夫链越长，且温度衰减系数越接近于1，模拟退火算法搜索越充分，越有可能找到全局最优解，但相应地也会增加算法搜索时间。当解空间的维度较高时，模拟退火算法要想搜索到全局最优解需要耗费大量时间，这是模拟退火算法的一个主要缺点。
四、应用推广
模拟退火算法在优化类问题的应用非常广泛，可以对上文的代码进行修改以应用到其他问题。但是具体问题具体分析，除了必要的数据更改之外，特别要注意以下3点：
例如，将问题升级到2维，寻找目标函数f = sin(x) + cos(y) 在[0, 6]×[0, 6]范围内的最小值。
可以看到，随着迭代次数的增加，模拟退火算法慢慢逼近目标函数的全局最小值，并最终找到了目标函数在[0, 6]×[0, 6]范围内的全局最小值-2，最小值点位于（4.7162， 3.1358）。