正弦曲线的可视化直观解释 第三部分

翻译小组成员介绍: Alex

Alex，英语爱好者，现工作于洛阳

文章: betterexplained.com/articles/intuitive-understanding-of-sine-waves/
译者: Alex    校对: 向海飞

正弦与微积分

Geeking Out With Calculus

用微积分描述正弦曲线/正弦波。如同 e，正弦波可以分解为更细微的起伏：

• 正弦波从0开始以单位速度增长

• 此过程中，一个相反的加速度企图将它拉回原点

该如何理解这个过程？上述力量如何改变正弦波离原点的距离？

• 初始推力使得距离线性增长：y (离原点距离) = x (时间)

• 随时受到一个大小为 -x 的反方向作用力。通过双重积分，将负的加速度转换为距离：

加速度对距离的影响如同上例中工资增幅对银行账户的影响。“工资增幅”势必改变收入，而收入又改变银行账户（两个改变累‘积’发生作用）。

因此，不难猜到，x 秒之后正弦值为 x（初始值）减去 x³/3!（负加速度的影响）：

但是，好像哪里出错了 -- 正弦是一个平稳的过程，并不会骤然下降！e是 通过“增长产生增长”的模式逐渐缓缓递增的，正弦实质上也一样。“反作用力”使正弦离原点的距离减小 x³/3!，而这个‘减小’又产生了另外一个“反作用力”。观察弹簧不难发现：拉伸的弹簧向平衡点运动，然而它在向下回弹时又会越过平衡点，继而产生一个向上的拉力（同理，弹簧在向上回弹时也会越过平衡点）。疯狂的弹簧！

每一个“反作用力”都需要被考虑到：

• y = x是初始状态，产生一个“反作用力”

• y = -x³/3!，产生一个“反作用力”

• y= x^5/5!，产生一个“反作用力”

• y = -x^7/7! ，产生一个“反作用力”
  ......

正弦波的优化模型

如同e，正弦可以描述为一个无穷级数：

当我将正弦看作初始推力和反作用力的组合时，这个公式就容易理解了。初始推力（y=x，正方向）最终会被反作用力超过，而这个反作用力最终又会被它自己的反作用力所超过，周而复始，无限循环。

余弦与微积分

The Calculus Of Cosine

余弦是位移后的正弦。既然已经理解了正弦，余弦当然不在话下！

• 正弦：开始于0，初始推力为 y = x (100%)

• 余弦：开始于1，无初始推力

所以，开始时余弦待在1这个地方，静候反作用力来推：

同理, 我们对-1双重积分得到第一个反作用力-x²/2! 。这个反作用力产生了第二个反作用力，第二个又产生了第三个...结果就得到下面的式子：

定义3：微分方程

Definition 3: The Differential Equation

上式用特定的方程描述正弦。其实，一个更简洁的方法是用微积分方程：

WolframAlpha查询结果

这个公式极具数学之美：

• 初始位置为 y

• 加速度（二阶导数y''）与当前位置相反（-y）

这个公式在正弦和余弦里都能得到验证。可是，一开始我是拒绝这个定义的。它和正弦的形象简直差之千里。然而，我没意识到它揭示了正弦的实质（“与当前位置相反的加速度”）。

正弦和 e 相互关联，而且e^x可用下式表述：

与正弦公式相似，只是符号变为正，即“加速度与当前位置相等”。然而，如果正弦仍然被表述为“圆内高度”，那么我们很难将它和 e 联系起来。

我很遗憾没有学好微分方程。但是现在我想学了，因为微分方程使得正弦表述起来更简洁，并且我觉得对正弦和e拥有直觉对学会数学尤为重要。

总结

Summing It Up

本文目标是展示更多更多正弦的内容（基本的图形和的概念），而不是数学中一个微不足道的角色（圆的一部分）

• 正弦是在极大值（1）和极小值（-1）之间的平稳摆动。从数学角度看，就是加速度与当前位置相反。这个“负增长”使得正弦永不停歇的摆动下去。

• 正弦并非圆的一部分，只是碰巧出现在了圆和三角形里（弹簧，钟摆，琴弦震荡，声波等都是正弦波）

• pi是sin(x)从中间位置出发然后又回到中间位置所需的时间。同样地，pi并不属于圆，也碰巧出现在圆里罢了。

把正弦装进“头脑工具箱”（以便用于产生平滑运动）。最终，我们将直观地理解这些基础概念（e，pi，弧度，虚数，正弦等等），并用它们做出一道美味的数学“大餐”！享受吧！(完)

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