数学基础知识的教学5

数学基础知识的教学

数学思想方法的教学

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数学思想方法的教学

数学思想的内容对数学对象、数以及数学方法的本质概括。主要包括符号化思想、转化与化归思想、数形结合思想想、模型思想、推理思想、方程和函数思想、分类与整合思想、统计思想、或然与必然思想、集合思想、特殊与一般思想、类比思想等

1、符号化思想

数学符号是数学的语言，数学世界是一个符号化的世界，数学作为人们进行表示、计算理和解决问题的工具，符号起到了非常重要的作用：因为数学有了符号，才使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点，同时也促进了数学的普及和发展。符号化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意义。

2、转化与化归思想

在面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往将需要解决的问題不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决这种思想方法称为化归(转化)思想。从小学到中学，数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。

因此，化归既是一般化的数学思想方法，具有普遍的意义：同时，也是攻克各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用转化与化归思想常用到的方法如下：

(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题。

(2)换元法：运用换元把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程不等式问题转化为易于解决的基本问题

(3)数形结合法：研究原问题中数量关系与空间形式关系，通过互相变换获得转化途径

(4)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题。

(5)特殊转化法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题。

(6)等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化的目的

(7)补集法：如果正面解决问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而包含问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集CUA使原问题得以解决。

3、数形结合思想

数形结合思想是重要的数学思想方法，在小学，数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。数和形之间是既对立又统一的关系，在一定的条件下可以相互转化。这里的数是指数、代数式、方程、函数、数量关系式等，这里的形是指几何图形和函数图象。在中学，它把数学关系的精确刻画与几何图形的直观形象有机地结合起来，从而揭示问题的条件与结论之间的内在联系，使原问题转化为简单的、熟悉的问题数形结合常用于解方程、解不等式、求函数值域、解三角问题中，充分发挥“形”的形象性、直观性，“数”的深刻性、精确性，弥补“形”的表面性，“数”的抽象性，从而起到优化解题途径的作用。

4、极限思想

极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想，我们知道，在小学数学里有些问题不是通过初等数学的方法解决的，如圆的面积，无法直接按照求长方形面积的方法来计算。我国古代数学家刘徽为了计算圆的面积和圆周率，曾经创立了“割圆术”，具体做法是：先做圆的内接正六边形，再做内接正十二边形…随着边数的不断增加，正多边形越来越接近于圆，那么它的面积和周长也越来越接近于圆的面积和周长。也就是说，随着正多边形的边数无限增加，圆内接正多边形就转化为圆，这种思想就是极限思想，即用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想。高中对极限思想的考查刚刚起步，并往往在考查其数学思想和方法的过程中同时考査极限思想，如，在使用由特殊到一般的归纳思想时，含有有限与无限的思想，在使用数学归纳法证明时，解决的就是无限的问题，体现有限与无限的思想。

5、模型思想

数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲，数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、数量关系式、图表、程序等都是数学模型。数学的模型思想是一般化的思想方法，数学模型的主要表现形式是数学符号表达式和图表，因而它与符号化思想有很多相通之处，同样具有普遍的意