高中数学-椭圆相关提升题目

题目需要计算的部分稍多，总体下来过程不少。

解析：

首先我们画个草图

至于AB，也有可能是朝上倾斜，我们只管求出一种即可，题上要的是△ABC面积，所以朝上朝下结果一样。

因为是正三角形，肯定要用到其性质，无非就是边、角和三线合一这些，所以我们取AB中点D，连接CD，这样可以得到CD长度和AB边之间的关系为√3/2，如果我们能够表示出这个等式关系，好像就可以得到一些未知条件；

由于题中只有椭圆方程，所以我们需要假设AB的斜率为k，那么根据F坐标可得AB点斜式：y=k（x-2）

这个时候还要注意k是否存在的问题，如果AB⊥x轴，根据题中条件可知是无法构造出等边△ABC的，所以k存在；

代入椭圆方程可得关于x的一元二次方程

（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0（好像是这个吧，今天写的过程擦掉了）

那么根据韦达定理可得

xA+xB=12k²/（1+3k²）

xA·xB=（12k²-6）（1+3k²）

我们要得到AB长度，所以可以结合弦长公式

|AB|=√（1+k²）·|xA-xB|

而|xA-xB|可以利用和与积的表达式来求出

所以|AB|长度表达式可得；

那么我们只需要再得到|CD|长度表达式即可建立等式关系

因为我们取的D是AB中点，所以根据  xA+xB=12k²/（1+3k²）可知

xD=  6k²/（1+3k²），代入AB解析式可得yD=-2k/（1+3k²）

而C的横坐标已知为3，所以只要知道CD的斜率即可搞定|CD|长

根据CD⊥AB可知，kCD·k=-1

则kCD可得

所以|CD|=√（1+1/k²）·|6k²/（1+3k²）-3|

那么k²得到了，则可得|AB|=√6

所以△ABC的面积S△ABC=|AB|²·√3/4=(3√3)/2