第39讲:方程与函数思想(上)
方程思想——未知的并不可怕!
所谓方程思想就是从问题中发现或者构造等量关系,恰当引入未知量,寻找已知量与未知量的等量关系,列方程或方程组,通过解方程或方程组而使问题获解的解题方法.
应用方程思想解决问题的常见途径有:
1.引入字母,把代数式的化简求值问题转化为方程或方程组问题来解;
2.突出主元,把等式看作是其中某个字母的方程,将问题转化为方程或方程组问题来探讨;
3.构造一元二次方程,利用求根公式、根的判别式、根与系数的关系等知识,求解代数式的相关问题;
4.列方程、方程组解应用题;
5.通过列方程或方程组解几何计算题,把几何问题代数化.
17世纪,法国数学家笛卡尔曾有过一个伟大的设想:把所有问题→数学问题→代数问题方程问题.
虽然笛卡尔的理想在他的一生中未能实现,但随着计算机的广泛应用,人们已经越来越体验到方程思想的重要性.
构造一元二次方程是方程思想解题最重要的途径,在代数式的化简求值、求字母取值范围、探求最值等方面有广泛的应用.常用的构造方法有:
①用根的定义构造;
②用韦达定理的逆定理构造;
③对于含有多个字母的变元等式问题,把等式整理为关于某个字母的一元二次方程.
函数思想——运动与变化
所谓函数思想,就是用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系,通过函数的形式,把这种关系表示出来,运用函数的概念和性质去分析问题、解决问题.
函数思想在解决问题中有以下几个方面的应用:
1.利用函数图象解决问题;
2.用函数的观点研究方程(组)、不等式(组)的解;
3.建立目标函数,运用函数的性质去解决问题.
方程与函数有着深刻的内在联系,这种联系体现在:方程的解是对应的函数图象交点的横坐标.函数图象的直观性,使得我们对方程的理解有了一种新的途径,
函数是初中数学的主要内容,有正比例函数、反比例函数、一次函次和二次函数,要研究它们的性质和图象.函数的思想方法就是用变化运动的观点来观察、分析问题.
应熟悉以下基本问题:
① 常见函数的性质、图象、画法;
② 常见函数的图象与该函数的解析式中各个系数的符号的关系;
③ 确定常见函数解析式的方法;函数与方程(组)的联系.