寒假特辑4 如何“手拉手”,怎样构“K形”?

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寒假即将结束,新的学期即将到来,不知现在的你,是否把重心转移到学习上了。

在《八上20讲 期末复习2  再谈全等中的“一线三等(直)角”与“手拉手”》中,笔者详细介绍了手拉手模型和一线三直(等)角模型,当然,一线三直(等)角模型又称K形,但之前所讲,多是题目中已经蕴含了这样的模型,而本讲作为寒假的最后一讲,重点介绍怎么来构造这样的模型.

就目前所学,我们还是讨论全等中的这些模型.

一、手拉手模型

由此可见,当题目中蕴含等腰三角形时,一般可以用旋转构造手拉手型全等.

例1:

如图,四边形ABCD中,连接AC,BD,△ABC是等边三角形,∠ADC=30°,并且AD=4.5,BD=7.5,则CD的长为_____.

分析:

题目中有等边三角形,则必然要利用手拉手,构造旋转全等.

△ABC是等边三角形,三个顶点都可以旋转,问题是,到底选择哪个点呢?

再次分析,有∠ADC=30°这个条件还没用,联想到等边三角形中有60°,则∠ADC恰好可以加上一个60°,从而拼成90°,再利用勾股定理.

因此,必然要构造等边三角形CDE,因此选择点C旋转,且为顺时针旋转60°.

解答:

例2:

分析:

题目中△ADC是等腰直角三角形,则必然要利用手拉手,构造旋转全等.且必然绕着顶点A旋转,问题是AB按什么方向旋转呢?

与上例类似,∠ABC=45°这个条件还没用,联想到旋转角必然是90°,构造的等腰直角三角形的底角是45°,加上∠ADC恰好可以拼成90°,再利用勾股定理.

因此,选择点A旋转,且为顺时针旋转90°.

解答:

二、一线三直(等)角模型

一线三直角又称K形,而一线三等角又称仿K形,一般有如下的三种特殊情况:

则△ABC与△CDE全等,或相似.

则对应边之比都相等,且等于周长之比.

上述比例式,虽然目前还没学过,

但是能提前了解,不是坏事.

例3:

如图,将等边三角形ABC折叠,使得点C落在边AB上的点D处,折痕为EF,点E、F分别在AC和BC上,若AC=8,AD=2,则CF∶CE的值为________.

分析:

由翻折知,CF=DF,CE=DE,问题转化为求DF∶DE的值,根据∠C=∠EDF=∠A=∠B=60°,典型的一线三等角模型.根据相似,列出比例式.

△ADE∽△BFD,

解答:

三、典型例题

答案详见下期

END

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