第19讲 期末复习专题4 因式分解常见类型及相关拓展习题
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在期中考试前，我们的重点内容之一是《整式乘法与因式分解》一章，由于这两块内容是互逆过程，很多同学初学时就非常容易混淆，临近期末，肯定又会有一定的遗忘，因此，这个专题，我们专门做一个整理和归纳．
一、因式分解的概念和几种方法
因式分解，顾名思义，是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它是整式乘法的逆过程，最后的结果，一般都写成( ) · ( )的形式．
常见的因式分解分解方法有提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法，分组分解法等，这一讲主要介绍前三种方法及综合运用．
二、因式分解的步骤
较为复杂的因式分解必须做到三步，提，公，彻．第一步，有公因式，先提公因式，注意一次提清，尤其是系数，不能遗漏．第二步，运用公式，无非是平方差公式和完全平方公式．第三步，分解彻底，比如有的时候还有公因式可提．
三、因式分解的常见类型及口诀
1、提公因式法
(1) －2m3＋8m2－12m
＝ －2m(m2－4m＋6)
口诀：提负要变号
当多项式第一项的系数是负数时，通常把“－”作为公因式的符号写在括号外，使括号内第一项的系数化为正数，在提出负号时，多项式的各项都要变号！
(2) 3x2－6xy＋x
＝ x(3x－2y＋1)
口诀：因同要加1
如果提取的公因式与多项式中的某一项相同，那么提取后的多项式中，这一项剩下的”1”不能漏写!
(3) a(a＋b)(a－3b)－a(a＋b)2
＝ a(a＋b)[(a－3b)－(a＋b)]
＝ a(a＋b)(－4b)
＝ －4ab(a＋b)
口诀：单在多之前
当分解完之后，如果是几个单项式与多项式的积的形式，则将单项式相乘，写在多项式的前面．
(4) 5m(m－5)－(5－m)(m－3)
＝5m(m－5)＋(m－5)(m－3)
＝(m－5)(5m＋m－3)
＝(m－5)(6m－3)
＝3(m－5)(2m－1)
口诀：分解要彻底
当分解为多项式与多项式的积时，也要观察多项式中是否还有公因式可提，或者能否用公式，再一次分解．
对于多项式的底数互为相反数的，我们适当换底也能用提公因式法，如：
其实这是运用了之前互为相反数的奇次幂互为相反数，互为相反数的偶次幂相等的结论，这里，奇次幂互为相反数互为相反数，说明换底之后，前面的符号有变化，我们可以再总结一个口诀，符号看指数，奇变偶不变，即指数为奇数，换底为原来的相反数时，式子前面的符号要变号．当然，这个口诀在高中学习三角函数诱导公式时，还会有不同的涵义！
2.平方差公式法
a2－b2＝ (a＋b)(a－b)
公式的特点：
（1）两项，且均为平方项
（2）平方项前异号
例1： 9(a＋b)2－4(a－b)2
错解：＝ 9(a＋b)2－4(a＋b)2＝5(a＋b)2
分析：产生这种错误的原因，还是在于相反数的概念不清，a＋b的相反数并非a－b，而是－a－b，顾本题不可采用提公因式法，应采用平方差公式法，其中，3(a＋b)看作公式中的a，2(a－b)看作公式中的b．
解答：
＝ [3(a＋b)]2–[2(a－b)]2
＝ [3(a＋b)＋2(a－b)][3(a＋b)－2(a－b)]
＝ (5a＋b)(a＋5b)
例2： 4x2－64
错解：＝ (2x＋8)(2x－8)
分析：产生这种错误的原因，在于没有注意因式分解第一步，有公因式要先提，这里有公因式4．
解答：
＝ 4(x2–16)
＝ 4(x＋4)(x－4)
例3： a4－16
错解：＝ (a2＋4)(a2－4)
分析：产生这种错误的原因，在于没有注意到因式分解要彻底，这里的a2－4项，符合平方差公式特点，还能继续分解．
解答：
＝ (a2＋4)(a2－4)
＝ (a2＋4)(a＋2)(a－2)
3.完全平方公式法
a2±2ab＋b2 ＝ (a±b)2
公式的特点：
（1）三项 （2）平方项前同号（3）满足：首2±2×首×尾＋尾2
例4： (m＋n)2－6(m＋n)＋9
错解：＝ (m＋n) (m＋n－6)＋9
分析：产生这种错误的原因，在于对提公因式法的理解有误，前提是必须要每一项都有公因式，而9显然没有，因此，我们要考虑用完全平方公式，这里把(m＋n)看作a，3看作b．
解答：
＝ (m＋n) 2－2(m＋n) · 3＋32
＝ (m＋n－3) 2
例5： 16a4－8a2＋1
错解：＝(4a2－1)2
分析：同例3的错误相同，4a2－1符合平方差形式，还可以继续分解．
解答：＝ (4a2－1)2
＝ [(2a＋1)(2a －1)]2
＝ (2a＋1)2(2a －1)2
例6： (a2＋3a)2－(3a＋9)2
错解：
＝ [(a2＋3a)＋(3a＋9)] [(a2＋3a)－(3a＋9)]
＝ (a2＋6a＋9)(a2－9)
分析：又没有做到分解彻底．
解答：
＝ [(a2＋3a)＋(3a＋9)] [(a2＋3a)－(3a＋9)]
＝ (a2＋6a＋9)(a2－9)
＝ (a＋3)2(a＋3)(a－3)
＝ (a＋3)3(a－3)
四、相关拓展习题
例7：将多项式4x2＋1加上一个整式，使它成为完全平方式，你有几种方法？
分析：要使多项式变为完全平方式，则必须为首2±2×首×尾＋尾2形式，那么，要添加的整式就可以放在首2，2×首×尾，尾2三个位置上，但是，要注意，添加的代数式是否为整式．
例8：若a－3b＝1，求a2－9b2－6b的值
分析：本题若是填空选择题，我们大可以用特殊值代入，但作为解答题，看到a2－9b2，应该想到可以借助因式分解来完成．
解答：a2－9b2－6b
＝(a＋3b)(a－3b)－6b
＝(a＋3b) · 1－6b
＝a－3b
＝1
例9：求多项式5x2－4xy＋4y2＋8x＋25的最小值．
分析：这是两次配方法和0＋0型的综合运用，要把五项变为2个完全平方式，即共6项，那么必然有一项要拆作2项，有4xy，4y2，则必然需要有x2，即拆5x2．
解答：5x2－4xy＋4y2＋8x＋25
＝ x2－4xy＋4y2＋4x2＋8x＋25
＝ (x－2y)2＋4(x2＋2x＋1－1)＋25
＝ (x－2y)2＋4(x＋1)2＋21
当x＝－1，y＝－0.5时，有最小值为21
练习：
附第18讲练习及答案：
1.为提高饮水质量，越来越多的居民开始选购家用净水器，一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价是150元/台，B型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36 000元.
(1)求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台；
(2)为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11 000元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元.
2.我市一山区学校为部分家远的学生安排住宿，将部分教室改造成若干间住房．如果每间住5人，那么有12人安排不下；如果每间住8人，那么有一间房还余一些床位，问该校可能有几间住房可以安排学生住宿？住宿的学生可能有多少人？