不用泰勒公式如何证明欧拉公式

杨忆鸿   原创

一、概述

欧拉发表于1748年的数学公式e^iX=cosX+isinX，将三角函数与复指数函数巧妙地关联了起来。欧拉公式被称为世界上最美的公式， 数学家称它的恒等式e^iπ=-1是“上帝创造”的公式，我们只能看它而不能理解它, 词条语。可以说欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”。

欧拉公式的推导就是用泰勒展开公式，将y=e^(iX)、y=sinx、y=cosx用幂级数展开，即可得到e^iX=cosX+isinX，常人一般想不到，全世界仅有欧拉能想到，这就是他伟大的地方。但少数有高数功底的人对公式的证明有点不服，连我都觉得证明过程有点牵强不严密，虚数也能象实数一样这么整吗。 有没有好的证明方法呢

二、无需证明

搜到百度民科贴吧的一个贴子，里面抱怨口气的几句话使我豁然开朗，这位不知名的吧主必是一个高数大神。贴首写到，用泰勒展开证明欧拉公式完全是耍流氓，要展开首先得要（按数学规矩）定义复数的指数函数，而如果定义好了复指数函数，欧拉公式就已经成立了，就不需要证明了，再用泰勒展开公式来证明就是循环论证了。

原来定义一个新类型数的公式或扩充数的范围，就必须先有新运算符的定义。我们在初中学习过幂运算a^n，n只是整数，到了高中，根据a^n1/a^n2=a^(n1-n2)、a^n1.a^n2=a^(n1+n2)、(a^m)^n=a^mn, 推广定义了a^0、a^负数、a^分数，一下子推广到了幂为实数的情况，这就是数学定义的作用。再定义i^2=-1，又产生了虚数，把数学推广到复数。这样的例子太多，这就说明没有数学定义，是不能把运算集扩大的。

如果我们连指数的复数幂是什么都没有定义，擅谈什么欧拉公式就象是空中楼阁。与其叫欧拉公式，还不如说它是“欧拉定义”。因为它是利用把泰勒展开公式推广到虚数参数，定义了指数的虚数幂。为了数学的规律性，当然不可随意定义，定义需要合理性：需把某个公式的参数范围扩大化定义，泰勒展开公式就是这个虚数幂定义的工具。

三、推导

既然欧拉公式只是虚数幂 e^iX的首次定义式，那就无需证明，在新的数据域也无法证明。用通俗的话讲，欧拉规定这个式子就是对的。他将泰勒公式扩充到虚数范围才得到的，全世界都接受了这个天才般的定义。

下面就是e^iX=cosX+isinX这个伟大定义的推导过程，注意这并不叫证明哟：

四、验证

不需证明可以，除了泰勒公式方法推导外，究竟有没有另一种验证方法呢，至少得让我们相信欧拉公式是对的吧。 百度上可搜到两种方法：积分验证法、导数验证法，导数方法最简单，但肯定少不了把复数函数类比成实数函数一样。

导数法是用一个函数f(x)=e^ix/(cosx+isinx), 它的函数值明显恒为1。利用(u/v)'=(u'v-uv')/v^2，我们可求出此f(x)的导数式f'(x)=0，说明连续函数f(x)恒为常数，又f(0)=1, 说明f(x)=1。验证过程并不难，这就不要再怀疑欧拉公式的合理性、正确性了。

从推导到验证都有了，就算是这个欧拉公式证明问题的终结吧。