2020-2021北京二中初三(上)期末数学压轴题速解
2020-2021北京二中初三(上)期末数学压轴题速解
27．(7分)在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(a,b),点P的变换点P′的坐标定义如下：
当a＞b时,点P′的坐标为(－a,b)；当a≤b时,点P′的坐标为(－b,a)．
(1)点A(3,1)的变换点A′的坐标是 ；点B(－4,2)的变换点为B′,连接OB,OB′,则∠BOB′＝ ；
(2)已知抛物线y＝－(x＋2)2＋m与x轴交于点C,D(点C在点D的左侧),顶点为E．点P在抛物线y＝－(x＋2)2＋m上,点P的变换点为P′．若点P′恰好在抛物线的对称轴上,且四边形ECP′D是菱形,求m的值；
(3)若点F是函数y＝－2x－6(－4≤x≤－2)图象上的一点,点F的变换点为F′,连接FF′,以FF′为直径作⊙M,⊙M的半径为r,请直接写出r的取值范围．
【分析】(1)依据对应的定义可直接的点A′和B′的坐标,然后依据题意画出图形,过点B作BC⊥y轴,垂足为C,过点B′作B′D⊥y轴,垂足为D．接下来证明Rt△BCO≌Rt△ODB′．由全等三角形的性质得到∠BOC＝∠B′,然后可求得∠BOB′＝90°；
(2)抛物线y＝－(x＋2)2＋m的顶点E的坐标为E(－2,m),m＞0．设点P的坐标为(x,－(x＋2)2＋m)．①若x＞－(x＋2)2＋m,则点P′的坐标为P′(－x,－(x＋2)2＋m)．然后依据点P′恰好在抛物线的对称轴上,且四边形ECP′D是菱形,可得到股阿奴m,x的方程组,从而可求得m的值；②若x≤－(x＋2)2＋m,则点P′的坐标为P′((x＋2)2－m,x),同理可列出关于x、m的方程组,从而可求得m的值；
(3)设点F的坐标为(x,－2x－6)．依据题意可得到点F′的坐标为(2x＋6,x),然后依据两点间的距离公式可得到FF′的长度与x的函数关系式,从而可求得FF′的取值范围,然后可求得r的取值范围．
【解答】解：(1)∵点A(3,1),3＞1,
∴点A的对应点A′的坐标是(－3,1)．
∵B(－4,2),－4＜2,
∴点B的变换点为B′的坐标为(－2,－4)．
过点B作BC⊥y轴,垂足为C,过点B′作B′D⊥y轴,垂足为D．
∵B(－4,2)、B′(－2,－4),∴OC＝B′D＝2,BC＝OD＝4．
在Rt△BCO和Rt△ODB′中,
∴Rt△BCO≌Rt△ODB′(SAS),∴∠BOC＝∠B′．
∵∠B′＋∠B′OD＝90°,∴∠B′OD＋∠BOC＝90°,∴∠BOB′＝90°．
故答案为：(－3,1)；90°．
(2)由题意得y＝－(x＋2)2＋m的顶点E的坐标为E(－2,m),m＞0．
∵点P在抛物线y＝－(x＋2)2＋m上,
∴设点P的坐标为(x,－(x＋2)2＋m)．
①若x＞－(x＋2)2＋m,则点P′的坐标为P′(－x,－(x＋2)2＋m)．
∵点P′恰好在抛物线的对称轴上,且四边形ECP′D是菱形,
∴m＝8,符合题意．
②若x≤－(x＋2)2＋m,则点P′的坐标为P′((x＋2)2－m,x)．
∵点P′恰好在抛物线的对称轴上,且四边形ECP′D是菱形,
∴m＝2或m＝3,符合题意．
综上所述,m＝8或m＝2或m＝3．
(3)设点F的坐标为(x,－2x－6)．
当x＞－2x－6时,解得：x＞－2,不合题意．
当x≤－2x－6时,解得：x≤－2,符合题意．
∵点F的坐标为(x,－2x－6),且x≤－2x－6,
∴点F′的坐标为(2x＋6,x)．
∴当x＝－12/5时,FF′有最小值,FF′的最小值＝(6/5)√10,当x＝－4时,FF′有最大值,EF′的最大值＝2√10．
∴FF′的取值范围为：√(72/5)≤FF′≤2√10．
∵r＝FF′/2,∴r的取值范围是(3/5)√10≤r≤√10．
另解(林根数学):如图所示,
由第(1)问的证法,可见∠FOF’=90°,则易见△FOF’为等腰直角三角形,所以EF=(√2)OF.
显然OF最小时为O到AB的距离OM=6/√5(在△OAC中由面积可见), OF最大时为O到B点的距离OB=2√5,即
6/√5≤OB≤2√5,所以(6/5)/√10≤EF≤2√10,则(3/5)/√10≤r≤√10.
可以看到,对于初中生来说,中考不是目的,将来的高考才是方向,多寻求一个题的不同解法,把代数方法和几何方法的融会贯通,对将来的高中学习会大有裨益!
谢谢阅读!