(1条消息) m x n 网格中的最小路径和
在上一篇中,我们通过分析,顺利完成了“三角形最小路径和”的动态规划题解。在本节中,我们继续看一道相似题型,以求能完全掌握这种“路径和”的问题。话不多说,先看题目:
01、题目分析
第64题:最小路径和 |
---|
给定一个包含非负整数的 m x n 网格,请找出一条从左上角到右下角的路径,使得路径上的数字总和为最小。 |
说明:每次只能向下或者向右移动一步。
示例:
输入:[ [1,3,1], [1,5,1], [4,2,1]]输出: 7解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
这道题有一定难度哦!如果没有思路请回顾上一篇的学习内容!
不建议直接看题解!
02、题目图解
首先我们分析题目,要找的是 最小路径和, 这是个啥意思呢?假设我们有一个 m * n 的矩形 :[[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
那从左上角到右下角的最小路径和,我们可以很容易看出就是 1-3-1-1-1 ,这一条路径,结果等于 7 。
题目明确了,我们继续进行分析。该题与上一道求三角形最小路径和一样,题目明显符合可以从子问题的最优解进行构建,所以我们考虑使用动态规划进行求解。首先,我们定义状态:
dp[i][j] : 表示包含第i行j列元素的最小路径和
同样,因为任何一条到达右下角的路径,都会经过 [0,0] 这个元素。所以我们需要对 dp[0][0] 进行初始化。
dp[0][0] = [0][0]位置所在的元素值
继续分析,根据题目给的条件,如果我们要求 dp[i][j] ,那么它一定是从自己的上方或者左边移动而来。如下图所示:
5,只能从3或者1移动而来2,只能从5或者4移动而来4,从1移动而来3,从1移动而来 (红色位置必须从蓝色位置移动而来)
进而我们得到状态转移方程:
dp[i][j] = min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]) + grid[i][j]
同样我们需要考虑两种特殊情况:
最上面一行,只能由左边移动而来(1-3-1)
最左边一列,只能由上面移动而来(1-1-4)
最后,因为我们的目标是从左上角走到右下角,整个网格的最小路径和其实就是包含右下角元素的最小路径和。即:
设:dp的长度为l 最终结果就是:dp[l-1][len(dp[l-1])-1]
综上我们就分析完了,我们总共进行了 4 步:
定义状态
总结状态转移方程
分析状态转移方程不能满足的特殊情况。
得到最终解
03、GO语言示例
根据以上分析,可以得到代码如下:
func minPathSum(grid [][]int) int {l := len(grid)if l < 1 {return 0}dp := make([][]int, l)for i, arr := range grid {dp[i] = make([]int, len(arr))}dp[0][0] = grid[0][0]for i := 0; i < l; i++ {for j := 0; j < len(grid[i]); j++ {if i == 0 && j != 0 {dp[i][j] = dp[i][j-1] + grid[i][j]} else if j == 0 && i != 0 {dp[i][j] = dp[i-1][j] + grid[i][j]} else if i !=0 && j != 0 {dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]}}}return dp[l-1][len(dp[l-1])-1]}func min(a, b int) int {if a > b {return b}return a}
运行结果:
同样,运行上面的代码,我们发现使用的内存过大。有没有什么办法可以压缩内存呢?通过观察我们发现,在我们自左上角到右下角计算各个节点的最小路径和的过程中,我们只需要使用到之前已经累积计算完毕的数据,并且不会再次访问之前的元素数据。绘制成图如下:(大家看这个过程像不像扫雷,其实如果大家研究扫雷外挂的话,就会发现在扫雷的核心算法中,就有一处颇为类似这种分析方法,这里就不深究了)
优化后的代码如下:
func minPathSum(grid [][]int) int {l := len(grid)if l < 1 {return 0}for i := 0; i < l; i++ {for j := 0; j < len(grid[i]); j++ {if i == 0 && j != 0 {grid[i][j] = grid[i][j-1] + grid[i][j]} else if j == 0 && i != 0 {grid[i][j] = grid[i-1][j] + grid[i][j]} else if i !=0 && j != 0 {grid[i][j] = min(grid[i-1][j], grid[i][j-1]) + grid[i][j]}}}return grid[l-1][len(grid[l-1])-1]}func min(a, b int) int {if a > b {return b}return a}
运行结果:
课后思考:路径和类问题和之前的子序列类问题有何区别?
我把我写的所有题解都整理成了一本电子书,每道题都配有完整图解。