二次函数基础

新编人教版九上数学第二十二章《二次函数》辅导之一

二次函数基础

一、y是x的函数吗？

问

设正方体的棱长为x，表面积为y，

（1）写出用x表示y的式子；

（2） y是x的函数吗？为什么？

答

（1）y=6x²．

（2）y是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应．

二、y和z都是x的二次函数吗？

问

一个矩形的长是宽的2倍，若宽是x，长是y,面积是z，

（1）分别写出y、z关于x的函数解析式；

（2）y和z都是x的二次函数吗？

答

（1）y=2x;

z＝y·x＝2x·x=2x²．

（2）y是x的一次函数．

z是x的二次函数．

一般地，形如

y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)

的函数，叫做二次函数.

学习要点

在上述二次函数的解析式中一共有5个字母，其中,x是自变量，y是x的函数（因变量），而a,b,c是常数.

注意常数b,c可以为0,但是a不可以为0,这一点在解题中最容易出错.

三、二次函数实例

实例1

n个篮球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两队之间进行一场比赛），若比赛的场数为m，求m与n的函数解析式．

实例2

某产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量．如果每年的产量都是上一年的x倍，两年后这种产品的年产量为yt，求y关于x的函数解析式．

解：y＝20x·x＝20x²．

实例3

某产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量．如果每年的产量都比上一年增加x倍（注意：这里的x倍通常用百分数表示），两年后这种产品的年产量为yt，

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）如果每年的产量都比上一年翻一番（增加一倍），求两年后这种产品的年产量；

（3）如果每年的产量都比上一年增加30%（即x＝0．3），求y的值．

解：（1）y＝20（1+x）²;

（2）y＝20(1+1)²＝80．

答：两年后这种产品的年产量为80t．

（3）y＝20(1+0.3) ²＝20×1．69＝33．8．

实例4

一个圆柱的高等于底面半径，

（1）若底面半径为5cm，求它的表面积S;

（2）写出它的表面积S（cm²）与底面半径r（cm）之间的关系式．

解：（1）底面圆周长为10πcm，侧面面积为10π×5＝50π（cm²），

上、下底面圆的面积各为25π cm²，

S＝（50+25×2）π＝100π（cm²）．

（2）S＝2πr²+2πr²=4πr²．

实例5

某种商品的价格是200元，第一次降价10%，降价后的价格是多少？如果第二次又降价10%，经过两次降价后的价格是多少？

解：200×（1－10%）＝180（元）．

180×（1－10%）＝162（元）．

答：第一次降价后的价格是180元；经过两次降价后的价格是162元．

实例6

某种商品的价格是a元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格是y元，

（1）求y与x的函数解析式;

（2）若a＝3000，x＝5%，求y的值;

（3）若a＝100，y＝64，求百分率x．

解：（1）y=a(1-x)²．

（2）y=3000(1-5%)²＝2707．5．

（3）列方程100(1-x) ²=64 ．

解得x＝0．2，或x＝1．8（不合题意，舍去）．

∴x＝20%．

实例7

如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动．如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化？写出S关于t的函数解析式及t的取值范围．

解：∵AP＝2t，

∴PB＝AB－AP＝12－2t ．

∵BQ＝4t，

∵当t＝0时△PBQ不存在，当t＝6时，点P，Q同时到达终点，

∴t的取值范围是0＜t＜6．