田松 | 风雨飘摇的海誓山盟 ——关于《数学，确定性的丧失》
▲田松教授
作者 田 松（本号主编，北京师范大学哲学学院教授）
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热恋中的情人必有海誓山盟。对于两情相悦的甜蜜人来说，海誓山盟可能只是一种增加糖度的语言游戏。但是，对于一个爱上了白马王子的女孩子或者苦追白雪公主的小伙子来说，与白先生和白小姐的海誓山盟就极为重要。只有得到了这种承诺，内心才能感到塌实，对自己要做的事才感到有底气。“冬雷震震，夏雨雪，天地合，乃敢与君绝。”这个虚拟语气反过来就是个假言命题：君若与我绝，那就等值于冬雷夏雪天地合。
每个手持遥控器的现代人都深信不疑，当他按下某一个按钮，电视机就会更换一个频道。如果问他信心何来，他也许会说出一些电磁理论，或者说，这是科学。如果我问出亚历山大·蒲柏的问题：噢！上帝，为什么二加二等于四？就会有人嗤之以鼻，这还用问吗？作为茫茫宇宙之中渺小地球上的渺小生物，人类一直小心翼翼地求得上帝的欢心，企望获得确定性的知识。科学就是人类从上帝哪里讨来的海誓山盟，这种海誓山盟所用的语言就是数学。
但是，我们怎么能相信上帝不会背叛了它的诺言？我们怎么能相信上帝的语言是没有缺陷的语言？这个问题从休谟开始不停地被追问，问到本世纪，终于问出了大麻烦。
对于数学的信赖从毕达哥拉斯就开始了。老毕先生认为“万物皆数”。弄明白了数，就弄明白了世上万物。第一个完整的数学体系是欧几里德的几何学，在定义了基本概念之后，从几个简单的不言自明的基本公设出发，经演绎推理，构造出一个理论大厦。随便给你一个三角形，你都可以根据这个体系宣称，它的三个内角之和为180度。根本就不用去量！我中学时学过这个定理之后曾经拿着量角器跟一堆三角形较劲，每次相加我都没有得到180度，但每次我都不敢怀疑几何定理，只能自认手段不高，量错了。欧氏几何精制的逻辑构造不但让凡人没有怀疑的勇气，连大哲学家康德也顶礼膜拜，称之为先天综合判断，视之如刻在某个神庙中的神喻。
然而在康德还活着的时候，高斯就发现，存在与欧氏几何在逻辑上等值同真的非欧几何。在非欧几何里，三角形的三内角之和可以大于或者小于180度。存在两种以上的几何已经让数学家感到困惑了，更让他们苦恼的是，竟然分不出来谁对谁错。欧氏几何并不绝对正确，而且也不是现实空间的唯一几何。像高斯这样大的数学家也觉得这种想法过于大胆，迟迟不敢拿出来发表——怕遭人耻笑，直到19世纪中期，非欧几何被其他数学家发现。纸里终未包住火，所谓上帝的承诺，不过是单恋的幻觉。数学的先验真理性遭到了一次巨大的打击。
这个打击使数学家开始反省各种数学门类的逻辑基础，却发现，已经在科学各领域取得重大成功的众多数学分支，其逻辑基础不是破败不堪，就是根本没有。甚至欧氏几何学本身也充满着不严谨。到了本世纪初，数学家已经不再奢望得到绝对真理，他们只希望为所有数学分支建立起以梦中的欧氏几何为模本的自恰而完备的逻辑结构，进而把整个数学统一起来。然而数学的又一次劫难降临：在集合论中发现了悖论。所谓悖论，就是自相矛盾的命题，根据其真能推出其假，根据其假又能推出其真，这个命题就真假难辩。在以精确严谨著称的数学中竟然出现了这样的陈述，上帝成了一个任性的小姑娘，刚刚还说说笑笑，一转身就翻脸。
数学家一边解决集合论中的悖论，一边考察其它数学分支的自恰性问题。到了本世纪二、三十年代，物理学的各个分支已经成为一个统一的整体，其它门类的自然科学也在物理学的基础上统一起来了。数学也见到了一丝曙光。集合论被证明可以成为一切数学的基础。如若能够得到一个自恰且完备的形式化集合论体系，数学的大厦就建成了。但是这时，哥德尔发表了后来以他的名字命名的著名定理。这个定理可以大致解释如下：对于任何严密的逻辑体系，如果它完备，必不自恰；如果自恰，必不完备。这个定理对数学的打击是毁灭性的。就如一棵枝繁叶茂的老树，树梢上的叶子们正起劲地往上长的时候，忽然被告知：树根已经烂了。
如果数学的根烂了，我们该如何相信科学以及科学技术？
——欲知详情，请读M·克莱因《数学，确定性的丧失》。
M·克莱因是美国优秀的数学史大家。我在上大学时就曾翻过他的《古今数学思想》。事实上，对于数学家而言，从牛顿时代起，数学的绝对真理性就遭到了怀疑。但是这些事我的各级老师们从来没有说过。中国老师的嘴太犟，总是说自己教的东西多么多么厉害，从来不说它们的毛病。既然他们不说，我只好再说：请读克莱因。
本书的翻译不错。但仍让我找到一点疑问，如托勒密天体结构模型中一直被译为本轮与均轮的两个概念被译成周转圆与从圆，不知典出何处。从出版的角度说，这本书提供了人名的中英对照（还够不上书中所标称的人名索引）和参考文献，这是一个进步。但仍如其它“第一推动丛书”一样，没有主题索引——不知是原书没有，还是只是中文版没有。
▲M·克莱因，《数学，确定性的丧失》，李宏魁译，湖南科技出版社，第一推动丛书
1998年9月2日
北京 稻香园
【本文原载于《中华读书报》1998年9月9日，第11版。此文收入了《堂吉诃德的长矛》，转载请注明出处。】