人教版 | 初二春 · 平行四边形、矩形、菱形综合应用

李仙儿课堂开课啦

跟着李仙儿 数学飞天

李仙儿寄语：

一大波知识点来袭

以为你布下天罗地网

快来试试吧

敲重点啦！

特殊四边形的性质及判定定理很多

容易混淆

深刻理解这些性质与判定

理清他们之间的联系

是解决证明和计算的基础

1.四边形的相关定理辨析

【知识点一】平行四边形

1.定义：在某一变化过程中，有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形

2.性质：

（1）边性质：平行四边形的两组对边分别平行且相等

（2）角性质：平行四边形的两组对角分别相等，邻角分别互补

（3）对角线性质：平行四边形的对角线互相平分

（4）对称性：①平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点

②过对称中心作线段，可以将面积和周长平分

3.判定：（包括边、角、对角线三方面）

（1）边：

① 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

② 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

③ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

（2）角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

（3）对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形；

4. 三角形中位线：

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；

三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半

【知识点二】矩形

1. 矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形是矩形；

2.矩形的性质： 

① 平行四边形的性质矩形都具有；

② 矩形的四个角都是直角；

③ 对角线：矩形的对角线相等；

④ 矩形是轴对称图形，又是中心对称图形；

⑤ 它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点；

⑥ 补充：由矩形的性质，可以得到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

3.矩形的判定：

① 矩形的定义判定法：有一个角是直角的平行四边形是矩形；

② 对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）

③ 有三个角是直角的四边形是矩形；

④ 证明一个四边形是矩形的步骤：

方法一：平行四边形＋一角为直角或对角线相等；

方法二：三个角为直角；

【知识点三】菱形

1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；

2.菱形的性质

①菱形具有平行四边形的一切性质；

②菱形的四条边都相等；

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线。

3.菱形的面积计算

①利用平行四边形的面积公式；

②菱形面积＝1/2ab(a、b是两条对角线的长度）；

4.菱形的判定

①一组邻边相等的平行四边形是菱形；

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）；

③四条边都相等的四边形是菱形；

④证明一个四边形是菱形的步骤：

方法一：平行四边形 ＋ “一组邻边相等”或“对角线互相垂直”；

方法二：直接证明“四条边相等”；

注意：在判定四边形是否是菱形或者矩形时，一定要指明是在平四的基础上还是在四边形的基础上证明。矩形和菱形的判定都是基于其定义以及性质的逆命题所产生的，在证明时要灵活应用，根据已知条件，选择恰当的判定方式。

2.矩形的翻折

以上，就是矩形翻折的4种题型，在解题的过程中，发现翻折问题中常用方法：

找准直角三角形，通过设未知数，利用勾股定理，求出相应线段的长度。

同时，我们发现，翻折后，会出现很多等角或者等边，其中隐藏着许多全等三角形，在计算时，要善于发现这些隐藏的全等三角形。

END