油气藏数值模拟在石油和天然气开发过程中扮演着重要角色。可压缩流体渗流流动是油气藏数值模拟中的基本问题，由于考虑了流体的可压缩性，在数值模拟中需要实时求解流体的状态方程，因此计算效率比不可压缩流体渗流模拟大幅降低。为进一步提高可压缩流体渗流模拟的计算效率，本文提出了一种基于多重网格（Multigrid）和离散经验插值方法（Discrete Empirical Interpolation Method, DEIM）的高效半降阶模型（Multigrid-DEIM）。以单相单组分可压缩流体渗流为例，其原始控制方程包括质量守恒方程、达西方程和流体状态方程，传统一般采用半隐顺序求解方法，即隐式求解压力方程和流体状态方程，显式求解达西速度和气体压缩系数（如图1左半图）。该方法的主要耗时在于压力方程需要迭代求解，而流体状态方程一般采用代数法求解（例如一元三次方程求根法），数值计算效率较低，尤其是流体状态方程的求解消耗了整个计算的大部分CPU时间。为进一步提高数值计算效率，本文提出了一种基于多重网格和离散经验插值方法的高效半降阶模型，其中，在原始全维度空间上采用多重网格方法加速求解压力方程，而在降维空间上采用离散经验插值方法加速求解流体状态方程（如图1右半图）。该半降阶模型相比传统全阶模型或降阶模型具有以下优势：（1）在原始全维度空间采用多重网格方法求解压力方程，可以获得高保真流场，为流体状态方程的求解提供准确参数；（2）流体压缩因子的变化范围和变化幅度较小，采用简单的离散经验插值方法即可获得精度较高的压缩因子计算结果；（3）同时在原始全维度空间和降维空间进行加速，极大提高了数值计算效率，尤其是流体状态方程的求解效率；（4）同时耦合全阶模型和降阶模型，在一定程度上克服了单纯采用降阶模型时模型精度严重依赖基函数选择的难题。
图1 Multigrid-DEIM求解可压缩流体渗流思路
以图2所示虚拟油气藏多孔介质内单组分轻烃的可压缩渗流流动为例，对提出的高效半降阶模型进行验证。其中，离散经验插值法在全维度空间选取的10个插值点如图3所示。图4-6给出了压力、达西速度和压缩因子的计算结果对比图，其中蓝线表示采用传统基于有限差分的半隐顺序求解方法计算结果，红色虚线表示采用Multigrid-DEIM的计算结果。从图中可以看出，两种方法的计算结果基本完全重合，结果的定量分析表明压力、达西速度和压缩因子的平均相对误差分别在10-7%、10-6%和10-4%数量级。表1给出了不同计算时刻时两种方法的CPU计算时间对比，可以看出Multigrid-DEIM半低阶模型比传统方法计算效率提高约2个数量级。
图4 t=5000s时的压力场对比
图5 t=5000时的u达西速度场对比
图6 t=5000时的压缩因子场对比
以上结果已发表在学术期刊 Petroleum Science上，欢迎大家交流和引用。
Li, J., Yu, B., Wang, D. et al. An efficient multigrid-DEIM semi-reduced-order model for simulation of single-phase compressible flow inporous media. Pet. Sci. (2020). https://doi.org/10.1007/s12182-020-00509-y扫描二维码 ｜关注我们
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