波兰数学奥林匹克第二轮

题1.杰克将n张卡片分别写有1、2、· · · n的卡片按任意顺序排成一列放在桌面上.派将每张卡片染成红色、黄色、蓝色之一.随后，杰克从1开始，按卡片上数字从小到大的顺序取走卡片.

求证：派可以选择合适的染色方式，使得杰克取走卡片的过程中的任意时刻，任意两张同色的卡片之间必有至少一张其它颜色的卡片.

解答：题目文字挺多，看起来挺吓人。其实很简单.无非就是寻找一种合理的方式，使得你在染色的时候不需要去记忆看到卡片就直接染色，同时能保证卡片按照1，2，3··· · ·n排号顺序后，同色卡片不会相邻.

因为有三种颜色，可以采用下面的策略：

对任意一个数字k,按照下面规则染色即可。

1、当k除以3余数为0时，染红色；

2、当k除以3余数为1时，染黄色；

3、当k除以3余数为2时，染蓝色；

每个数字必居其一，且对任意的k,k+1，它们除以3的余数不可能相同，故相邻卡片没有同色的，知道按照上述规则染色满足要求.

题2.在平行四边形ABCD中,P为CD上一点，满足∠DBA=∠CBP.过D、P两点作与直线AD相切的圆，圆心为O.求证：CO=AO.

证法1：由于∠DBA=∠CBP,而∠DBA=∠CDB，

于是⊿CBP∽⊿CDB,得：CB·CB=CP·CD.

设圆O的半径为R.由圆幂定理，点C和点A对⊙O的幂为：

ρ(C) =CO·CO-RR= CP·CD=CB·CB

ρ(A)=AO·AO-R·R=AD·AD

注意到AD=CB，于是CO=AO.

证法2:如图2所示,设DB交圆O于点K，连PK、CK、DO、KO.

则∠DKP=∠TDP=∠DAB=∠PCB,于是K、P、C、B四点共园，

∠PKC=∠PBC=∠PDK,于是CK为圆O的切线，于是CK·CK=CP·CD.

且OK⊥CK,又易知⊿CBP∽⊿CDB,得:CB·CB=CP·CD.

所以 CK=CB,又OK=OD,于是⊿OKC≌⊿ODA,于是OA=OC.

命题得证！