量子力学的本质之欧拉恒等式,数学与物理的深度融合

在本系列的第一篇文章中量子力学的本质,测量和自旋的数学原理 ,我们概述了一些基本的物理直觉,并描述了量子物理与日常生活中的经典物理的一些不同之处。经典物理学和量子物理学之间最重要的区别是,量子物理学往往违反经验直觉,因此最好的理解是抽象的数学形式主义。在我们继续建立这个形式主义之前,我们需要复习一些数学基础。
基础的第一步就是要熟悉复数。量子物理的大多数数学形式都是用复数来表示的,如果仅仅用实数来表示这种形式,如果可能,也是极其麻烦的。

解释复数的最好方法是把它们作为实数域的扩展来引入。因此,我们的第一步必须是解释什么是域。一个域(F, +, ×),或简单地说F,是一组结合了两个二元运算+和×的对象(称为加法和乘法)足域公理。我们经常省略乘法符号,直接写“ab”而不是a×b。二元运算是将一个值赋给一对对象的操作。加法是二元运算的一个例子,把两个数相加得到第三个数。这与一元元不同,一元运算只接受一个元素(如平方根运算)。
域公理如下:
  • 闭包:若a,b∈F,则a+b∈F, a×b∈F。
  • 恒等式:在F中存在元素1和0(不一定是数字1和0),分别称为乘法恒等式和加法恒等式。它们的性质是对所有a∈F,a×1 = a,a+0 = a。
求逆:对于每个a∈F,都存在-a和1/a,分别称为加逆和乘逆。它们的性质是a+(-a) = 0,a×(1/a) = 1。0是特例,它没有乘逆。
  • 交换律:a+b =b +a和a×b=b×a。
  • 结合律:(a + b) + c = a + (b + c)和(a×b)×c = a×(b×c)。
  • 分配律:a×(b+c) = (a×b)+(a×c)。
知道一些线性代数的人可能会注意到它与向量空间公理非常相似。这不是巧合,一个域是它自身的一个向量空间,向量的加法运算是域的加法运算,标量的乘法是域的乘法运算。
有理数和实数都是非常重要的域。给定的任何域F,有一些与F相关的重要域 。第一个是来自F的多项式的所有系数的域,用 F[x]表示。第二个重要的域是F的扩展。

多项式和域扩展

给定一个域F,我们可以通过邻近元素α(它不是F的元素)得到F的扩展,对于所有a,b∈F,我们称得到的扩展域F(α)及其元素为a+bα。当然,我们可以将元素附加到这个扩展域,例如(F(α))(β) = F(α,β),这是一个域,其元素是a+bα+cβ(对所有a, b, c∈F)。熟悉线性代数的人会注意到这个扩展就像F上的向量空间一样,它的基是{1,α, β},这一事实在域及其扩展的理论中是极其重要的。当域扩展的基底中有n个元素时,我们说域扩展是有限的,有n次。
那我们为什么要费这个劲呢?
假设我们有一个域F和一个多项式p(x)∈F[x],即一个多项式的系数是F的元素,但不需要p(x)的根也是F的元素。例如多项式x²-2的根是±√2。系数1和2是有理数,所以这个多项式是ℚ[x]的一个元素,然而,它的根不是有理数。因此,x²-2的根域,也就是最小的域(最小是因为没有合适的子域也包含x²+2的根)是ℚ(√2)。由于我们刚刚看到存在一个多项式,其系数来自ℚ,但其根不是ℚ的元素,我们说ℚ不是代数封闭的。但ℚ(√2)也不是,因为考虑多项式x²-3√2的根是 ±(√3)√(√2),它们不是ℚ(√2)的元素,因为√3不是ℚ(√2)的元素。
事实上,我们可以证明ℚ的有限扩展没有代数闭的。我们可以尝试实数,它是有理数的无限扩展,但ℝ也不是代数封闭的,因为多项式x²+1的根是±√(-1),它不是一个实数,因为任何实数的平方都必须是正的。
为了解决这个问题,我们发明了一个新数字i=√(-1),并将这个数字与ℝ邻接,得到ℝ(i),也就是众所周知的ℂ,这是一组复数。利用复分析的方法,可以证明代数的基本定理,即任何系数取自ℂ的多项式,其根在ℂ。
本节的目的是演示复数的起源:ℂ是有理数和实数的代数闭包。任何系数来自ℂ的多项式,当然也包括其子集ℚ和ℝ,都起源于ℂ。

复代数

复数实际遵守的规则要简单得多,它们的行为或多或少与我们预期的方式一致。设u = a+ib, v = c +id。基本的域运算是标准的加法和乘法:
  • 加法,将实部和虚部分别相加,(a+ib) + (c+id) = (a+c) +i (b+d)。
  • 乘法,(a+ib)(c+id) = ac-bd + i(ad+bc),记住i²= -1。
我们可以取复数的幂,我们可以求出它们的n次方根,等等。但是也有一些特殊的新运算。
  • 复共轭:给定一个复数z = a+ib,z的复共轭是a-ib。
  • Re{z}和Im{z}:分别是z的实部和虚部。Re{a+ib} = a,Im{a+ib}= b。
  • z的大小:也称为z的模量或绝对值。记作|z|。
复共轭允许我们对复数进行除法。只需将分子和分母同时乘以分母的复共轭:
现在我们将证明一个著名的,极其重要的结果。

欧拉恒等式

欧拉恒等式允许我们定义一个非常重要的函数叫做复指数:
这个公式传统上是用幂级数来证明的。注意:
此外,请注意:
k是任何大于等于0的整数。现在我们用指数,正弦,余弦函数的幂级数表示来证明欧拉恒等式:
证毕!

几何解释

用复平面(有时也称为高斯平面)上的一点来表示复数非常方便,实部在一个轴上,虚部在另一个轴上的坐标系统:
这种图被称为阿根图,以法国数学家让-罗伯特阿根的名字命名。
回想一下,我们定义了一个复数a+ib的大小为√(a²+b²),这是一个长度为a和b的直角三角形斜边的长度。因此,一个复数的大小就是它到原点的距离。r = |a+ib| =√(a²+b²)
根据基本的三角函数,a = r×cos(θ), b = r×sin(θ), θ = arctan(b/a)。因此z = a+ib = r×(cos(θ) + i×sin(θ))。因此,利用欧拉恒等式,我们可以用极坐标形式表示z:
当我们用z的实部和虚部来表示z及其在复平面上的位置时,已经用直角坐标或者笛卡尔坐标的形式来表示z了。

应用,旋转矢量

你可能听说过复数可以被认为是在平面上旋转和拉伸向量的变换。事实上,复数不仅可以看作是在平面上旋转和拉伸向量的变换,它们是这样的转换的集合,从某种意义上说,每个复数(0除外)都表示这种类型的转换。
假设有向量(2,3),将向量逆时针旋转47.5度,然后将向量的长度缩放0.7倍,然后再顺时针旋转25度,最后将向量缩放1.5倍,求其坐标值。最直接的方法是通过一系列变换矩阵求得:
新坐标约为(0.735,3.714)。
矩阵乘法非常繁琐,所以我们可能会问,是否有更简洁的方法。幸运的是,利用复数,我们可以很容易求得。首先将向量(2,3)表示为复数2+3i。极坐标是√(13)×exp{i×56.31}。第一个变换矩阵用0.7×exp{i×47.5°}表示,第二个变换矩阵用1.5×exp{-i×25°}表示,取负号是因为旋转是顺时针的。要找到新向量的复数表示,只需将它们相乘:
在三维空间中,如果我们试图只使用矩阵乘法来执行这些运算,将会变得非常困难。但是,正如我们可以更容易地使用复数来进行二维变换计算一样,我们可以将复数扩展到一个叫做四元数的新系统,并使用四元数代数来有效地进行这些运算。四元数是一个非常有趣的主题,我肯定会在将来的某个时候写它(感兴趣的关注老胡说科学),但这篇文章是为了量子力学而来的。
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