二次相遇、追击问题专项训练例题解析

甲、乙两车同时从A、B两站相对开出,第一次相遇离A站有90千米,然后各自按原速继续行驶,分别到达对方出发站后立即沿原路返回。第二次相遇时离A站的距离占AB两站全长的65%。求AB两站的距离。

答案:

两车第一次相遇时,共行了1个全程,其中甲车行了90千米

两车第二次相遇时,共行了3个全程,其中甲车行了1个全程加上全程的1-65%=35%,为1+35%=1.35个全程

两车共行3个全程,甲车应该行90×3=270千米

所以AB距离270/1.35=200千米。

二次相遇问题的解题思路(附例题及答案)

知识要点提示:甲从A地出发,乙从B地出发相向而行,两人在C地相遇,相遇后甲继续走到B地后返回,乙继续走到A地后返回,第二次在D地相遇。一般知道AC和AD的距离,主要抓住第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。

例题:

1.甲乙两车同时从A、B两地相向而行,在距B地54千米处相遇,它们各自到达对方车站后立即返回,在距A地42千米处相遇。请问A、B两地相距多少千米?

A.120

B.100

C.90

D.80

【答案】A。解析:设两地相距x千米,由题可知,第一次相遇两车共走了x,第二次相遇两车共走了2x,由于速度不变,所以,第一次相遇到第二次相遇走的路程分别为第一次相遇的二倍,即54×2=x-54+42,得出x=120。

2.两汽车同时从A、B两地相向而行,在离A城52千米处相遇,到达对方城市后立即以原速沿原路返回,在离A城44千米处相遇。两城市相距( )千米

A.200

B.150

C.120

D.100

【答案】D。解析:第一次相遇时两车共走一个全程,第二次相遇时两车共走了两个全程,从A城出发的汽车在第二次相遇时走了52×2=104千米,从B城出发的汽车走了52+44=94千米,故两城间距离为(104+96)÷2=100千米。

绕圈问题:

3.在一个圆形跑道上,甲从A点、乙从B点同时出发反向而行,8分钟后两人相遇,再过6分钟甲到B点,又过10分钟两人再次相遇,则甲环行一周需要( )?

A.24分钟

B.26分钟

C.28分钟

D.30分钟

【答案】C。解析:甲、乙两人从第一次相遇到第二次相遇,用了6+10=16分钟。也就是说,两人16分钟走一圈。从出发到两人第一次相遇用了8分钟,所以两人共走半圈,即从A到B是半圈,甲从A到B用了8+6=14分钟,故甲环行一周需要14×2=28分钟。也是一个倍数关系。

追及问题的解题思路(附例题及答案)

知识要点提示:有甲,乙同时行走,一个走得快,一个走得慢,当走的慢的走在前,走得快的过一段时间就能追上。这就产生了“追及问题”。实质上,要算走得快的人在某一段时间内,比走得慢的人多走的路程,也就是要计算两人都的速度差。如果假设甲走得快,乙走得慢,在相同时间(追及时间)内:

追及路程=甲走的路程-乙走的路程

=甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间

=速度差×追及时间

核心就是“速度差”的问题。

1.一列快车长170米,每秒行23米,一列慢车长130米,每秒行18米。快车从后面追上慢车到超过慢车,共需( )秒钟

A.60

B.75

C.50

D.55

【答案】A。解析:设需要x秒快车超过慢车,则(23-18)x=170+130,得出x=60秒。这里速度差比较明显。

当然很多问题的都不可能有这么简单,“速度差”隐藏起来了

2.甲、乙两地相距100千米,一辆汽车和一台拖拉机都从甲开往乙地,汽车出发时,拖拉机已开出15千米;当汽车到达乙地时,拖拉机距乙地还有10千米。那么汽车是在距乙地多少千米处追上拖拉机的?

A.60千米

B.50千米

C.40千米

D.30千米

【答案】C。解析:汽车和拖拉机的速度比为100:(100-15-10)=4:3,设追上时经过了t小时,那么汽车速度为4x,拖拉机速度则为3x,则3xt+15=4xt,即(4x-3x)t=15得出xt=15,既汽车是经过4xt=60千米追上拖拉机,这时汽车距乙地100-60=40千米。这里速度差就被隐藏了。

3.环形跑道周长是500米,甲、乙两人按顺时针沿环形跑道同时、同地起跑,甲每分钟跑50米,乙每分钟跑40米,甲、乙两人每跑200米均要停下来休息1分钟,那么甲首次追上乙需要多少分钟?

A.60

B.36

C.72

D.103

【答案】C。解析:追上的时间肯定超过50分钟,在经过72分钟后,甲休息了14次并又跑了2分钟,那么甲跑了2900米,乙正好休息了12次 ,知道乙跑了2400米,所以在经过72分钟后甲首次追上乙。

行程问题之追及例题解析

追及问题

追及问题的地点可以相同(如环形跑道上的追及问题),也可以不同,但方向一般是相同的。由于速度不同,就发生快的追及慢的问题。

根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系,常用下面的公式:

距离差=速度差×追及时间

追及时间=距离差÷速度差

速度差=距离差÷追及时间

速度差=快速-慢速

解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中,找出两者,然后运用公式求出第三者来达到解题目的。

*例1 甲、乙二人在同一条路上前后相距9千米。他们同时向同一个方向前进。甲在前,以每小时5千米的速度步行;乙在后,以每小时10千米的速度骑自行车追赶甲。几小时后乙能追上甲?(适于高年级程度)

解:求乙几小时追上甲,先求乙每小时能追上甲的路程,是:

10-5=5(千米)

再看,相差的路程9千米中含有多少个5千米,即得到乙几小时追上甲。

9÷5=1.8(小时)

综合算式:

9÷(10-5)

=9÷5

=1.8(小时)

答略。

*例2 甲、乙二人在相距6千米的两地,同时同向出发。乙在前,每小时行5千米;甲在后,每小时的速度是乙的1.2倍。甲几小时才能追上乙?(适于高年级程度)

解:甲每小时行:

5×1.2=6(千米)

甲每小时能追上乙:

6-5=1(千米)

相差的路程6千米中,含有多少个1千米,甲就用几小时追上乙。

6÷1=6(小时)

答:甲6小时才能追上乙。

*例3 甲、乙二人围绕一条长400米的环形跑道练习长跑。甲每分钟跑350米,乙每分钟跑250米。二人从起跑线出发,经过多长时间甲能追上乙?(适于高年级程度)

解:此题的运动路线是环形的。求追上的时间是指快者跑一圈后追上慢者,也就是平时所说的“落一圈”,这一圈相当于在直线上的400米,也就是追及的路程。因此,甲追上乙的时间是:

400÷(350-250)

=400÷100

=4(分钟)

答略。

*例4 在解放战争的一次战役中,我军侦察到敌军在我军南面6千米的某地,正以每小时5.5千米的速度向南逃窜,我军立即以每小时8.5千米的速度追击敌人。在追上敌人后,只用半小时就全歼敌军。从开始追击到全歼敌军,共用了多长时间?(适于高年级程度)

解:敌我两军行进的速度差是:

8.5-5.5=3(千米/小时)

我军追上敌军用的时间是:

6÷3=2(小时)

从开始追击到全歼敌军,共用的时间是:

2+0.5=2.5(小时)

综合算式:

60÷(8.5-5.5)+0.5

=6÷3+0.5

=2.5(小时)

答略。

*例5 一排解放军从驻地出发去执行任务,每小时行5千米。离开驻地3千米时,排长命令通讯员骑自行车回驻地取地图。通讯员以每小时10千米的速度回到驻地,取了地图立即返回。通讯员从驻地出发,几小时可以追上队伍?(适于高年级程度)

解:通讯员离开队伍时,队伍已离开驻地3千米。通讯员的速度等于队伍的2倍(10÷5=2),通讯员返回到驻地时,队伍又前进了(3÷2)千米。这样,通讯员需追及的距离是(3+3÷2)千米,而速度差是(10-5)千米/小时。

根据“距离差÷速度差=时间”可以求出追及的时间。

(3+3÷2)÷(10-5)

=4.5÷5

=0.9(小时)

答略。

行程问题之相遇问题例题解析

(一)相遇问题

两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动,随着时间的发展,必然面对面地相遇,这类问题叫做相遇问题。它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。

小学数学教材中的行程问题,一般是指相遇问题。

相遇问题根据数量关系可分成三种类型:求路程,求相遇时间,求速度。

它们的基本关系式如下:

总路程=(甲速+乙速)×相遇时间

相遇时间=总路程÷(甲速+乙速)

另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度

1.求路程

(1)求两地间的距离

例1 两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出,一辆汽车每小时行56千米,另一辆汽车每小时行63千米,经过4小时后相遇。甲乙两地相距多少千米?(适于五年级程度)

解:两辆汽车从同时相对开出到相遇各行4小时。一辆汽车的速度乘以它行驶的时间,就是它行驶的路程;另一辆汽车的速度乘以它行驶的时间,就是这辆汽车行驶的路程。两车行驶路程之和,就是两地距离。

56×4=224(千米)

63×4=252(千米)

224+252=476(千米)

综合算式:

56×4+63×4

=224+252

=476(千米)

答略。

例2 两列火车同时从相距480千米的两个城市出发,相向而行,甲车每小时行驶40千米,乙车每小时行驶42千米。5小时后,两列火车相距多少千米?(适于五年级程度)

解:此题的答案不能直接求出,先求出两车5小时共行多远后,从两地的距离480千米中,减去两车5小时共行的路程,所得就是两车的距离。

480-(40+42)×5

=480-82×5

=480-410

=70(千米)

答:5小时后两列火车相距70千米。

例4 两列火车从甲、乙两地同时出发对面开来,第一列火车每小时行驶60千米,第二列火车每小时行驶55千米。两车相遇时,第一列火车比第二列火车多行了20千米。求甲、乙两地间的距离。(适于五年级程度)

解:两车相遇时,两车的路程差是20千米。出现路程差的原因是两车行驶的速度不同,第一列火车每小时比第二列火车多行(60-55)千米。由此可求出两车相遇的时间,进而求出甲、乙两地间的距离。

(60+55)×[20÷(60-55)]

=115×[20÷5]

=460(千米)

答略。

2.求相遇时间

例1 两个城市之间的路程是500千米,一列客车和一列货车同时从两个城市相对开出,客车的平均速度是每小时55千米,货车的平均速度是每小时45千米。两车开了几小时以后相遇?(适于五年级程度)

解:已知两个城市之间的路程是500千米,又知客车和货车的速度,可求出两车的速度之和。用两城之间的路程除以两车的速度之和可以求出两车相遇的时间。

500÷(55+45)

=500÷100

=5(小时)

答略。

例3 在一次战役中,敌我双方原来相距62.75千米。据侦察员报告,敌人已向我处前进了11千米。我军随即出发迎击,每小时前进6.5千米,敌人每小时前进5千米。我军出发几小时后与敌人相遇?(适于五年级程度)

解:此题已给出总距离是62.75千米,由“敌人已向我处前进了11千米”可知实际的总距离减少到(62.75-11)千米。

(62.75-11)÷(6.5+5)

=51.75÷11.5

=4.5(小时)

答:我军出发4.5小时后与敌人相遇。

例4 甲、乙两地相距200千米,一列货车由甲地开往乙地要行驶5小时;一列客车由乙地开往甲地需要行驶4小时。如果两列火车同时从两地相对开出,经过几小时可以相遇?(得数保留一位小数)(适于五年级程度)

解:此题用与平常说法不同的方式给出了两车的速度。先分别求出速度再求和,根据“时间=路程÷速度”的关系,即可求出相遇时间。

200÷(200÷5+200÷4)

=200÷(40+50)

=200÷90

≈2.2(小时)

答:两车大约经过2.2小时相遇。

例5 在复线铁路上,快车和慢车分别从两个车站开出,相向而行。快车车身长是180米,速度为每秒钟9米;慢车车身长210米,车速为每秒钟6米。从两车头相遇到两车的尾部离开,需要几秒钟?(适于五年级程度)

解:因为是以两车离开为准计算时间,所以两车经过的路程是两个车身的总长。总长除以两车的速度和,就得到两车从相遇到车尾离开所需要的时间。

(180+210)÷(9+6)

=390÷15

=26(秒)

答略。

行程问题之求速度例题解析

求速度

例1 甲、乙两个车站相距550千米,两列火车同时由两站相向开出,5小时相遇。快车每小时行60千米。慢车每小时行多少千米?(适于五年级程度)

解:先求出速度和,再从速度和中减去快车的速度,便得出慢车每小时行:

550÷5-60

=110-60

=50(千米)

答略。

例2 A、B两个城市相距380千米。客车和货车从两个城市同时相对开出,经过4小时相遇。货车比客车每小时快5千米。这两列车每小时各行多少千米?(适于五年级程度)

解:客车每小时行:

(380÷4-5)÷2

=(95-5)÷2

=45(千米)

货车每小时行:

45+5=50(千米)

答略。

例3 甲、乙两个城市相距980千米,两列火车由两城市同时相对开出,经过10小时相遇。快车每小时行50千米,比慢车每小时多行多少千米?(适于五年级程度)

解:两城市的距离除以两车相遇的时间,得到两车的速度和。从两车的速度和中减去快车的速度,得到慢车的速度。再用快车速度减去慢车的速度,即得到题中所求。

50-(980÷10-50)

=50-(98-50)

=50-48

=2(千米)

答略。

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