点点滴滴之抛物线性质（三）高考两道姊妹题

抛物线性质（三）

高考北京卷解析几何两道姊妹题

回顾高考北京卷解析几何两道解答题：

1、2018年高考北京卷（理）19题：

已知抛物线C：y²=2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．

（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；

2、2017年高考北京卷（理）18题：

已知抛物线C：y²=2px过点P(1，1).过点(0，1/2)作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.

（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.

观察这两道题不难发现，两题题干的主要部分除数字不同外，其余完全相同.进一步观察会发现2018年题中过点Q（0，1）斜率存在的抛物线的切线和抛物线恰好相切于点P（1，2），2017年题中过点(0，1/2)斜率存在的抛物线的切线和抛物线恰好相切于点P(1，1)，且点Q（0，1）和点(0，1/2)都在y轴上.

猜测：两题的结论互相通用.即过定点Q（0，m）（m≠0）的直线和抛物线C：y²=2px相切余点P，过点Q的直线与抛物线C交于不同两点A，B，O为原点,则同时有如下两个结论：

（1）直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．

（2）过点A作x轴的垂线分别与直线OP，OB交于点T，S，则T为线段AS的中点.

如果猜测成立的，那么北京卷连续两年考察了两个姊妹题.结论也是抛物的一个性质.

下面分三步证明猜测成立：

（一）求切点P的坐标；

（二）证明猜测（1）成立；

（三）证明猜测（2）成立.