如何做出圆锥曲线和直线的交点（切点）

求作圆锥曲线和直线的交点（切点），是个比较有意思的问题。目前网上几乎见不到资料，本文作了一点探究。应该说，作切点比较容易，而作交点，特别是直线如果不平行于圆锥曲线的对称轴，则比较难。下面我们先来研究如何作圆锥曲线和直线的切点。

1、已知抛物线焦点 及其对称轴 ，求该抛物线与已知直线 的切点。

作法：

1. 过 、 的交点 作 的垂线 ；
2. 作射线 关于 的对称射线 ；
3. 过 作 平行于 ，交 于 点。

点 即为所求。

证明：

过 作 平行于 ， 平行于 。

易知， 等于 ， 等于 。（两角的边分别平行，则两角相等或者互补）

而 、 关于 对称，所以 等于 。

所以 和 相等。

根据抛物线光学性质得证。

2、已知椭圆焦点 、，求该椭圆与已知直线 的切点（、 在 的同侧）。

作法：

1. 作 关于 的对称点 ；
2. 连接 和 ，二者交 于 点。

点 即为所求。

证明：

在 上任取一点 ，连接 、、、。

易知，在三角形 中，，

而前者等于 ，后者等于 ，

即 是到两焦点 、 距离之和最短的点。

根据椭圆光学性质和费马原理得证。

3、已知双曲线焦点 、，求该双曲线与已知直线 的切点（、 在 的异侧）。

作法：

1. 作 关于 的对称点 ；
2. 连接 和 ，二者交 于 点。

点 即为所求。

证明：

在 上任取一点 ，连接 、、、。

易知，在三角形 中，，

而前者等于 ，后者等于 ，

即 是到两焦点 、 距离之差最大的点。

根据双曲线光学性质和费马原理得证。

接下来我们看看如何作圆锥曲线和直线的交点（这里的做法是网友提供的）。这里面涉及到了所谓的“阿波罗尼奥斯”问题，限于篇幅未能展开叙述，如果大家确实有兴趣，将来我可能会写一写。

4、已知：抛物线焦点 、准线 及一直线 ，求作抛物线和直线的交点。

作法：

1. 作 关于 的对称点 ；
2. 作经过 、 且与 相切的圆；

该圆圆心 、 即为所求。（最多两个点）

证明：

以点 为例，因为圆 与 相切，

所以点 到 的距离等于圆 半径。

又因为圆 过 和 点，

所以点 到 的距离也等于圆 半径，且在 的垂直平分线上，即 在 上。

得证。

5、已知椭圆两焦点 、、长轴长度 （）及一条直线 ，求作椭圆与直线的交点。

作法：

1. 以 为圆心， 为半径作圆；
2. 作 关于 的对称点 ；
3. 作经过 、 且与圆 相切的圆；

该圆圆心 、 即为所求。（最多两个点）

证明：

以点 为例，连接 并延长，交圆 于 点。

因为圆 和圆 相切， 是连心线 和圆 的交点；

所以 是圆 和圆 的切点， 即 等于圆 半径。

又因为圆 过 和 点，

所以 也等于圆 半径。

而 等于 与 的和，等于 ，

所以 与 的和等于 。

又因为圆 过 和 ，

所以 在 和 的垂直平分线上， 即 在直线 上。

得证。

6、已知双曲线两焦点 、、实轴长度 （）及一条直线 ，求作双曲线与直线的交点。

作法：

1. 以 为圆心， 为半径作圆；
2. 作 关于 的对称点 ；
3. 作经过 、 且与圆 相切的圆；

该圆圆心 、 即为所求。（最多两个点）

证明：

以点 为例，连接 并反向延长，交圆 于 点。

因为圆 和圆 相切， 是连心线 和圆 的交点；

所以 是圆 和圆 的切点，

即 等于圆 半径。

又因为圆 过 和 点，

所以 也等于圆 半径。

而 等于 与 的差，等于 ，

所以 与 的差（的绝对值）等于 。

又因为圆 过 和 ，

所以 在 和 的垂直平分线上，

即 在直线 上。

得证。