2021马其顿IMO代表队选拔考试 中文翻译

第一天

1.设为自然数. 单调递减的非负实数列 满足对任意成立. 求证: .

2.锐角中,  .设为关于的对称点. 的外接圆与射线分别交于点. 已知在之间, 在之间. 取线段的中点, 求证: 直线与的交点在的外接圆上.

3.对一个人群, 若其中任意一个人在本群中的朋友个数为偶数(包括), 就称这个人群是"好的".
求证: 任意一个人群都可以被划分为两个"好的"人群.

第二天

4.对集合, 函数满足, 对任意, 均有.
求的所有可能的值.
注:

5.求所有函数 , 使得对任意 , 以下两式均成立:
;
.

6.锐角垂心为,  . 高分别与交于点. 设为中点. 过作的平行线,与的外接圆交于点, 其中在同侧, 在同侧. 直线分别与交于. 求证: 与的外接圆相切.

每年的IMO是数学竞赛的盛宴，但也标记着一代数竞选手的谢幕。然而在离别之际，大家往往还有希望能够传递下去的知识和数竞道路上的感悟。我们希望通过Eureka Camp这个项目，记录下国家队队员们竞赛道路上那些顿悟的瞬间，将对数学竞赛的认识和热爱分享给更多的后来者。