《重读相对论》9.4 双生子佯谬最全面的解释

9.4 双生子佯谬

针对的狭义相对论的钟慢效应，德国物理学家郎之万提出了著名的双生子佯谬。在狭义相对论的所有问题之中，双生子佯谬也是争议较大的一个，关于它的解释更是五花八门，千奇百怪。首先，爱因斯坦本人的解释就不能令人信服，而其他科学家给出的解释也存在各种各样的缺陷，总体说来都是差强人意的。双生子佯谬是这样表述的：

假设爱因斯坦的两个儿子汉斯和爱德华是一对孪生兄弟，这哥儿俩的生长速度完全相同，所以他们的年龄也应该基本相同。但接下来令人意想不到的事情发生了：哥哥汉斯要乘坐亚光速飞船出去旅行，弟弟爱德华要留在地球上照顾家人，由于飞船的速度接近光速，所以在弟弟看来，哥哥的时间流逝速度会变得非常慢，因此哥哥汉斯看起来要比自己年轻一些。反过来，如果我们站在哥哥汉斯的立场上，就应该认为自己所处的飞船是静止的，而是弟弟爱德华和地球在高速远离自己，所以弟弟和地球的时间会变得非常慢，弟弟爱德华看上去应该比自己更年轻。

虽然这里已经出现了矛盾，但问题也很容易解释，反正这哥儿俩又不在一起，我们完全解释说：因为时间的快慢都是相对的，没有绝对的时间概念，所以双方的解释都对。况且即使不受相对论的影响，仅仅由于光信号延时的效应，双方也会看到对方比自己年轻。但是问题在于，哥哥汉斯旅行了一段时间后，又以同样的速度返回了地球。这下问题就复杂了，当哥儿俩再见面的时候，弟弟爱德华认为哥哥汉斯年轻，哥哥汉斯反过来也认为弟弟爱德华年轻，如果他们只是相差一两岁，还不容易判别出来，但如果飞船的速度足够快，他们的年龄差异完全可以超过四五十岁，那么这哥俩当中肯定有一个还是年轻人，而另一个已经垂垂老矣了。现在的问题就是，当哥哥汉斯乘坐飞船返回地球以后，他和爱德华到底谁更年轻？

问题之所以棘手，并不在于谁的时间变慢了，以及时间变慢了多少，而在于当这哥儿俩再次碰面后，就会在同一时间、同一地点出现。此时，无论我们从哪一个参考系去看，最终的结果都只有一个，大家所看的现象都必然是一样的。而无论实际结果如何，都会与狭义相对论发生根本的冲突：

如果兄弟二人之中，一方比另一方年轻，那就证明钟慢效果不是相对的，而是绝对的，既然钟慢效应是绝对的，那么尺短效应当然也就是绝对的，这样一来，狭义相对论的基础就会被彻底摧毁，我们对于时空的认知就会重新回到洛伦兹的时代。相反，如果哥儿俩见面时年龄一样，我们又会认为相对论的尺短钟慢效应完全是无稽之谈，因此狭义相对论也就不复存在了。

幸运的是，尽管这个问题很棘手，但科学家们给出的结论却惊人的一致。无论是爱因斯坦还是提出问题的郎之万，大家都认为，乘坐飞船旅行的哥哥汉斯更年轻，留在地球看家的兄弟爱德华更老一些。对此，爱因斯坦的解释是：狭义相对论仅在惯性参考系中存在，弟弟爱德华一直随地球保持匀速直线运动，他的参考系可以被视作标准的惯性系，所以在弟弟看来，自己的哥哥变的更年轻了。而哥哥汉斯要乘坐飞船离开和返航，不可避免地会遇到加速和减速问题，在此过程中，哥哥会多次改变自己的参考系，所以哥哥汉斯看到“弟弟变老”的现象不符合狭义相对论也是很正常的。这样的解释简直就是“王顾左右而言他”。

在爱因斯坦之后，又有一些科学家给出了另一种解释：相对论的“相对”二字仅仅是指三维时空中的运动，如果把时间也算作一个维度，在四维时空中观察就会发现：加速度运动是绝对的。基于这一理论，他们还可以用微分几何或闵可夫斯基四维时空图做出细致的分析。但这种解释同样是差强人意的，如果加速度是绝对概念，为什么速度就是相对的概念呢？要知道，对于双生子悖论而言，用绝对时空和洛伦兹绝对收缩理论来解释，要比相对论加微分几何再加四维时空要简单的多得多。既然理论分析很难解释清楚，那么我们可以用实验来证实吗？可以！

1971年，为了验证双生子佯谬的结论，科学家设计了原子钟环球航行实验。如图9-15所示：首先准备三组高精度铯原子钟，一组原子钟放在地面上作为时间的基准，另外两组铯原子钟分别放到两架飞机里，由飞机带着它们分别向东西两个方向环球航行，等待三天后飞行结束时，再把飞机上的两组原子钟的同地面上的一组原子钟进行对比，看看究竟那一组原子钟的时间变慢。

显然，在飞机飞行点过程中，由于地球本身在自西向东的自转，所以三座原子钟会以不同的速度运行，其中：留在地面上的原子钟会与地球的自转速度一致；向东飞行的原子钟的速度等于地球的自转速度加上飞机飞行的速度；向西飞行的原子钟的速度等于地球自转速度减去飞机的飞行速度，即：

因此，向西飞行的原子钟速度最慢，向东飞行的原子钟速度最快，位于地面的原子钟速度居于二者之间。根据狭义相对论，飞行速度越快则时间变慢的速度越明显，因此，根据钟表飞行的速度不难得知：向东飞行的原子钟走时最慢，向西飞行的原子钟走时最快，地面上的原子钟走时速度同样居于二者之间。

当然，由于地球表面存在引力场，原子钟精确时间变慢的效果还需要扣除在引力引起的广义相对论效应。最终，在误差允许的范围内，原子钟飞行实验的结果完美证实了这一结论：原子钟的运动速度越快，其时间变慢的效果就越明显。

既然这个问题已经经过了大量实验的证实，看起来似乎就不应该存在争议了，但问题在于，我们应该如何理解这样的实验结果。要知道，无论科学实验如何设计，我们通过实验能得的只能是一组实验数据，通过这些数据证明的也仅仅是一个数学表达式。实验本身永远不会通过自然语言向我们解释洛伦兹变换的物理含义。对狭义相对论而言，原子钟环球航行实验只是证明了它的数学表达式正确，即证明了洛伦兹变换的正确，在高速运动时，时钟变慢了是“事实”。但我们凭什么认为，时钟究竟是“绝对”变慢了，还是“相对”变慢了呢？

要知道，即使像某些科学家所解释的那样，只有速度是相对的，加速度是绝对的，双生子佯谬的现象也是很难解释。平心而论，我们之所以认为地球是惯性系，飞船不是惯性系，不过就是因为地球看起来比飞船大一些而已。假如我们的视野能够放远一点，选择太阳系为参考系，则完全可能看到另一幅场景：当我们在地球上观察到飞船加速离开，飞船加速返回的时候，很可能从太阳的角度看来，飞船很恰好保持静止状态，反倒是地球围绕太阳转了一圈儿后，重新和静止的飞船汇合了。如果是这样的话，结果还会是飞船中的哥哥汉斯更年轻吗？在广阔无垠宇宙中，我们甚至还可以随意指定一个星系，以它为核心建立一个坐标系，从这个坐标系上看来，飞船和地球的运行速度和加速度都会因为参考系的不同而不同，那么，当哥哥和弟弟再次会面的时候，又会是谁更年轻呢？看来，对于双生子佯谬，我们还需要进行一番细致的分析。

现在，假设地球上的时间是相对论元年，汉斯和爱德华两兄弟刚满30岁生日，哥哥汉斯马上要从地球出发，乘坐速度v=0.995c的飞船，飞往30光年远的红星去兜风，到达红星后，汉斯会立即返回地球和爱德华团聚。假设在起飞的那个时刻，哥儿俩看到红星上降生了一个叫罗森的婴儿。接下来，我们将分别以地球、飞船、红星为参考系，对起飞、航行、停飞、掉头、返航、团聚这六个过程的时空变化做出分析，并在每一个过程中记录这三个人的年龄，以及这一过程花费的时间。

起飞前，地球、飞船、哥哥汉斯、弟弟爱德华基本处于同一时空位置，哥儿俩所看到的现象完全相同，他们所记录的内容如图9-14所示：时间：地球纪年0年；飞船位置：地球，汉斯的年龄：30；爱德华的年龄：30；罗森的年龄：0岁。同时，汉斯和爱德华非常清楚，由于红星距离地球30光年远，因而此时此刻，他们所看到的是红星30年前的景色，按此推算罗森的实际年龄应该是30岁。同样，此时此刻，在红星上看到的也是30年前的地球，因此红星上罗森记录的信息是：地球纪年：-30年；飞船？还没造出来；汉斯的年龄：0岁，爱德华的年龄：0岁；罗森自己的年龄：30岁。

在哥哥汉斯起飞前，哥儿俩都知道，在地球和红星之间的广阔空间中，均匀的分布着罗森从0岁到30岁成长过程的光信号，即使时光停滞不前，当汉斯从这30光年的空间中穿过时，他也可以陆续看到罗森从0岁到30岁的成长历程。当然时光不可能停滞不前，在汉斯飞向红星的过程中，罗森的年龄还会继续增长，即使汉斯以光速飞到红星，也需要30年的时间，在此过程中，红星上的罗森还会继续增加30岁，所以，当哥哥汉斯以光速飞抵红星以后，他至少会看到60年后的红星，以及60岁的罗森。也就是说，在30光年的时空间隔中，至少隐藏了60年的光阴信号。

起飞后，如果完全忽略加速过程，飞船和汉斯立刻就可以获得0.995C的速度，此时，飞船仍然和地球位于同一地点，因此，起飞后的同一时间，同一地点，汉斯和弟弟爱德华看到的现象应该是完全相同的，他们记录的内容也应该和起飞前毫无差别。他们看到的红星和罗森应该仍然保持在0岁不变。但是，这里面隐含着一个问题：

当哥哥汉斯起飞后，按照狭义相对论，如果以飞船为参考系就会发现：红星在高速靠近自己，地球以及弟弟爱德华在高速远离自己。既然地球和红星在高速运动，那么汉斯就应该发现，地球和红星之间的距离缩短了，缩短的比例

正好是原来距离的十分之一。所以在哥哥汉斯看来，结果如图9-15所示：红星距离地球应该不再是30光年，而应该是3光年，既然只有3光年远，那么，光线传播3年就可以从红星到达汉斯的视野中，所以汉斯应该看到的就应该是3年前的红星，为什么他看到的还是30年前的红星呢？对双生子佯谬的误解之一就在这里！

如果我们把自己的目光不是投放在红星上，而是投放在那30光年的茫茫空间中就会发现：虽然按照相对论理论，红星和地球之间的距离可以瞬间缩短，但是那30光年中的每一个光信号，每一道电磁波却并不会消失。在起飞以后，哥哥汉斯和飞船仍然处于地球附近，而地球附近所收到的光信号仍然是红星在30年前所发出的，汉斯不但没有办法透过这些光信号直接看到真实的红星，他也无法透过他们看到3年前的红星。尽管在汉斯看来，他和红星之间的距离是3光年，自己的速度是0.995c，接下来，他只需要用3.015年的时间就可以飞抵红星，但是就在这3年多的时间内，汉斯至少会穿过红星将近60年的光信号，在此过程中，他会陆续收到红星以及罗斯成长过程中的所有信息。这些光信号是在汉斯起飞前就有的，在地球和红星之间客观真实的存在着，不会因为汉斯和飞船的起飞而莫名其妙的消失。

那么，相对论所计算出的3年时间又意味着什么呢？既然汉斯看到的仍然是30年前的红星，所谓地球和红星之间的距离是3光年又要如何判定呢？如果我们回归相对论的本质就会明白，这3光年的距离需要这样来判定：

我们可以在红星上投放一只同样的红飞船，让红飞船和汉斯在同一时刻以同一速度飞行，因为红飞船和汉斯在静止时的距离等于地球和红星的距离，又因为红飞船和汉斯一直保持着相对静止，所以可以认为红飞船和汉斯之间的距离永远等于红星和地球的距离。同时，我们又可以用这样的方式测量这段距离的长短。如图9-16所示：

首先从汉斯所在的飞船向红飞船发射一道光，如果汉斯等待了6年以后，才收到了这束光从红飞船返回的回波，那么就可以证明光在红飞船和汉斯之间往返的总距离是6光年，从而得出红飞船和汉斯之间的单程距离是3光年，又因为这段距离和红星和地球的距离相等，所以就证明了此时红星和汉斯之间的距离也是3光年。也就是说，我们必须花费6年的时间才能证实两个物体之间的间距的确是3光年。

此时，我们切换到红星所在的参考系：尽管目前的飞船已经起飞了，但是由于地球和红星之间存在着30光年的距离，所以，30岁的罗森从红星遥望地球，也就只能看到30年前的场景，因此飞船起飞的一瞬间，罗森看到的场景也是丝毫未变，汉斯和爱德华仍是0岁，飞船仍然没有创造出来。

接下来，我们让红飞船继续前行：假设飞船起飞后，瞬间就获得了0.995c的速度，那么在地球上的弟弟爱德华来看：哥哥汉斯需要飞行多久才能到达红星呢？很简单：

t=s / v = 30c / 0.995c = 30.15(年)

那么，当地球上经过了30.15年以后，爱德华会看到哥哥汉斯到达了红星吗？当然不会！因为这一时间只是理论计算的结果，而不是爱德华从视觉上看到的现象。我们别忘了，在地球上看来，红星到自己的距离是30光年远，所以即使30.15年后汉斯已经到达了红星，弟弟爱德华也看不到，由于信号延时的影响，他还需要再等30年才能收到飞船到达的信号。

在前面的内容中，我们曾经提到：当物体远离观察者时，物体运动的视觉速度会小于实际速度。因此，在哥哥汉斯乘坐飞船远离地球的过程中，地球上的弟弟爱德华看到的视觉速度v远为：

如果哥哥汉斯的飞船以这样的视速度离开地球，那么在30.15年以后，虽然事实上汉斯已经抵达了红星，但此时在弟弟爱德华看来，汉斯的视觉飞行距离s视为：

也就是说，在弟弟爱德华看来，经过了30.15年的时间，哥哥汉斯只走过了路程的一半多一点；必须还要经过30年的时间，飞船抵达红星的信号才会传回到弟弟的眼中，因此，在弟弟爱德华看来，从汉斯乘坐飞船离开地球到他抵达红星，共需60.15年！届时爱德华看到的现象将如图9-17所示：

在整个飞行过程中，爱德华经历了60.15年，自己从30岁成长为90.15岁，红星上的罗森也从0岁成长为60.15岁。但飞船上的哥哥汉斯则由于相对论的钟慢效应，只是增长了3.015年，从30岁变成了33.015岁。所以在飞行过程中，弟弟爱德华记录的信息是：时间：地球纪念60.15年，地点：汉斯抵达红星；哥哥汉斯的年龄：33.015；弟弟爱德华的年龄：90.15岁；罗森的年龄：60.15岁。

那么，当飞船抵达红星时，红星上的罗森又是如何记录的呢？首先，红星以及罗森一直和地球保持相对静止状态，他也会认为汉斯需要花费30.15年的时间到达红星。但是，罗森看到的现象就非常奇怪了：由于信号延迟的作用，他直到30岁时才看到地球上的汉斯和爱德华出生，而汉斯乘坐飞船从地球出发的消息还需要30年的时间才能传达到他的眼中。因此如图9-18所示：直到罗森60岁的时候，他才发现地球上的汉斯和爱德华长到了30岁，并看到了哥哥汉斯乘坐飞船从地球出发的消息。

而接下来发生的现象则更令人吃惊，仅仅过了0.15年，当罗森到了60.15岁时，突然就会发现汉斯已经飞到了自己的面前！结果如图9-19所示。这又是为什么呢？很简单，由于汉斯在靠近罗森运动，因此按照视速度公式，他看到的汉斯的视觉速度为：

是的，在罗森看来，汉斯飞行的视觉速度几乎接近200倍的光速。当然，这并不能表明汉斯的飞船是超光速的，因为从汉斯出发的地点判断，罗森可以清楚地意识到他是在30年前出发的，所以，尽管在罗森看来，汉斯的到来十分突然，但仍然是可以理解的。

现在，最奇怪的现象不在于汉斯飞行的视觉速度太快，而在于汉斯的生长速度出现了问题：在红星上的罗森看来，当汉斯从地球上出发前，无论是汉斯还是爱德华，他们哥儿俩和自己生长的速度都是一样的，但在汉斯的飞行过程中，罗森自己从60岁变成了60.15岁，飞船上的汉斯从30岁变成了33.015岁，地球上的爱德华从30岁变成了30.15岁。在这短暂的0.15年的时间内，相对静止的罗森和爱德华的确只增长了0.15岁，但汉斯却忽然变老了3.015岁。

接下来，我们要详细分析一下汉斯的年龄变化。虽然红星和地球处在同一个参考系中，但由于光信号延迟和相对论钟慢效应的共同作用：在弟弟爱德华看来，哥哥汉斯花费了60.15年的时间只变老了3.015岁，成长速度几乎减慢了20倍；但在红星上的罗森看来，爱德华却只花费了0.15年就变老了3.015岁，成长速度几乎加快了20倍。按照狭义相对论的理论计算，难道汉斯的时间不是应该变慢10倍吗？面对这样复杂的现象，我们又应该如何处理呢？

对此，我们应该首先扣除光信号延时的影响，由于地球和红星一直保持着相对静止，所以爱德华和罗森会认为，它们之间存在30光年的距离和30年的时间差，爱德华认为哥哥汉斯实际花费的时间不是60.15年而是30.15年，罗森也认为汉斯花费的实际时间不是0.15年，同样是30.15年。如果我们在两个观察者的视觉时间中取一个算数平均值，就不难得到了汉斯的实际飞行时间tA：

既然汉斯的实际飞行时间是30.15年，那么汉斯长大了3.015岁也就恰好说明他的时间变慢了10倍，于是这一结果也就很好的符合了狭义相对论的预言。

但除此之外，对于汉斯长大的3.015年，我们还有一个更简单的计算方法：如果我们认为地球和红星之间的时空是均匀的，那么，汉斯的时间变化也应该是均匀的，因此，在爱德华眼中汉斯时间变慢的比例就应该等于在罗森眼中汉斯时间变快的比例。设这个比例是N，汉斯自己成长的内部时间是tA’，不难得出：

也就是说，汉斯的飞行时间30.15年，可以由两个视觉时间的算数平均值得出；而汉斯自己成长的时间3.015年，可以有两个视觉时间的几何平均值得出。其中，相对论所预言的时钟变慢的10倍，则正是算术平均值和几何平均值之间的比值。

接下来，我们站在哥哥汉斯的立场上，对于飞船航行的这一过程，如果我们以飞船为参考系就会发现：飞船自身是静止的，而地球和红星却是运动的，按照狭义相对论的钟慢效应，汉斯应该发现，弟弟爱德华和红星上的罗森的年龄增长比自己更慢才对。那么事实又如何呢？

如图9-20所示，在哥哥汉斯起飞的瞬间，他看到弟弟爱德华是30岁，看到的罗森是0岁；同时，汉斯认为红星和地球的距离是3光年，那么，当他到达了红星时，又会发现怎样的场景呢？

如果选择飞船为参考系，就应该发现这样的场景：无论是地球上的爱德华还是红星上的罗森，都在以很高的速度0.995c向左运动，因此他们的成长速度应该比自己变慢10倍，在此过程中，汉斯自己成长了3.015岁，所以弟弟和罗森应该只增长了0.3岁才对，然而当飞船到达红星后，汉斯看到的场景却和红星上的罗森看到的一样。

如图9-21所示：弟弟爱德华从30岁变成了30.15岁，只增长了0.15岁，但罗森却在3.015年的时间中从0岁飞快的增加到了60.15岁。那么，相对论钟慢效应所预言的0.3岁又该如何得出的呢？

首先，飞船上的汉斯会认为：弟弟爱德华增加了0.15岁只是一种视觉现象，那么B当前的“实际”年龄是多少呢？在汉斯看来，此时自己和地球之间的距离是3光年，B的真实年龄还需要3光年才能传播到自己所在的位置，那么，B的实际年龄是3.15岁吗？也不是！对于弟弟的年龄，汉斯会这样理解：既然爱德华在过去的3.015年的时间中只是增长了0.15岁，那么，如果他的生长速度不变，再经过3年以后，弟弟的年龄当然只会继续增长0.15岁，两个0.15岁相加，弟弟爱德华的“实际”年龄肯定就只能增长0.3岁了。于是我们就得到了相对论所预言的时钟变慢效果。而罗森增加的60.15岁，则是相对论和光信号延时的共同作用。

当哥哥汉斯在红星停止下来以后，他和罗森看到的场景也没有任何变化：从这里看，地球的时间只是地球纪年0.15年，汉斯自己仍然是33.15岁，爱德华仍然是30.15岁，罗森仍然是60.15岁。只不过汉斯的速度一旦降为0，他就认为地球和红星之间的距离是30光年，而不是3光年。按照同样的道理，汉斯会认为他看到的爱德华是30年前的影像，在地球和红星之间的广阔空间中同样会隐藏着地球成长的60年的光阴。

接下来，我们继续返回地球，前文已述：当弟弟爱德华在地球上收到飞船抵达红星的消息时，是地球纪念60.15年。如图9-22所示：此时弟弟爱德华发现：哥哥汉斯的年龄是33.15岁，红星上罗森的年龄是60.15岁，而爱德华自己则已经是90.15岁高龄了。

接下来我们讨论飞船的返航，按照双生子佯谬的设计，哥哥汉斯并不需要在红星停留，他会瞬间获得一个返航的速度0.995c。此时，汉斯在红星看到的场景丝毫未变，只不过红星和地球的距离瞬间变为了3光年。同样，在红星和地球的角度看来，汉斯的时间地点仍然未变，只不过拥有了极高的返航速度而已。

在返航的过程中，从红星上的罗森看来：汉斯的飞船返回地球需要耗时30.15年，但由于汉斯到达地球的信号还需要30年才能传播到红星，所以等罗森发现汉斯到达地球时，已经经过了60.15年。

如图9-23所示：在红星上的罗森看来：汉斯返航的时间是地球纪念0.15年，到达的时间是地球纪念60.15年，在此过程中，罗森自己从60.15岁增加到120.30岁，地球上的爱德华也从30.15岁增加到90.30岁，但由于相对论的钟慢效应，汉斯的年龄只是从33.015岁增加到了36.03岁。

在地球上的爱德华看来，哥哥汉斯返航的时间和他到达红星的时间一致，都是地球纪念60.15年，而爱德华的年龄则是90.15岁，然而哥哥汉斯的整个返航过程却只花费了0.15年。

如图9-24所示：在地球上的爱德华看来，在飞船返航的过程中，爱德华自己从90.15岁增加到90.30岁，红星上的罗森也从60.15岁增加到60.30岁。但汉斯的年龄增长却很快，在0.15年的时间内增长了3.015岁，从33.015岁增长到36.03岁。

而从哥哥汉斯所在的飞船参考系看来：他从地球纪念0.15年起飞，到地球纪念60.30年降落。在此过程中，地球上的兄弟爱德华增长了60.15岁，从33.15岁变成了90.30岁，而红星上的罗森则是只是从60.15岁增加了0.15岁，变成了60.30岁。

最后，我们分析一下最终结果：从地球上的弟弟爱德华看来，哥哥汉斯的飞行和返航共经历了60.30年，在此过程中爱德华自己从30岁增加到90.30岁，而哥哥汉斯却只从30岁增加到了36.03岁。弟弟增加60.3岁，哥哥增加6.03岁，时钟变慢到原来的十分之一，因此从弟弟看来，这样的结果完全符合狭义相对论的预言。

但是，从哥哥汉斯的视角看来，整个过程中自己增加了6.03岁，但弟弟爱德华却增加了60.30岁。假如汉斯认为自己是静止的，而弟弟爱德华在运动，这样的结果显然与狭义相对论不符。按照狭义相对论的预言，弟弟爱德华应该只会增加了0.6岁才对，那么弟弟凭空增加了59.7岁从何而来呢？原因在于，尽管哥哥汉斯可以乘坐飞船瞬间起飞，瞬间降落，瞬间返航，但他却不能“同时”看到红星和地球的运动方式瞬间改变，莫名增加的59.7年，实际是地球和弟弟爱德华在时空畸变的过程中改变自己的参考系所花费的时间。那么，改变参考系所花费的时间又从何而来呢？要想理解这一点，我们需要以汉斯所在的飞船为标准，在宇宙空间中建立一个实际的物理参考系。

如图9-25所示：假设红星上存在一个同样的红飞船，它和汉斯的飞船处于同一参考系，两艘飞船之间的距离是3光年，并且始终保持相对静止的状态，某一时刻两艘飞船同时以0.995c的速度自左向右的飞离地球和红星。显然，如果我们从飞船上来看，应该会认为地球和红星以0.995c的速度自右向左运动。

现在的问题在于，两个参考系对于“同时”的理解存在差异。在两艘飞船所在的参考系看来：汉斯离开地球和红飞船离开红星是同时发生的，但在地球和红星所在的参考系中看来，这两个事件却不是同时发生的。汉斯乘坐飞船离开地球在前，红飞船离开红星的事件在后。根据狭义相对论的洛伦兹变换公式，这两个事件的时间间隔为：

也就是说，如果站在地球和红星所在的参考系来看，汉斯从地球起飞后，又经过了29.85年，红飞船才离开红星。而这一事件就是一次坐标系变换所消耗的时间。同理，当地球调转方向，再次返回汉斯所在的飞船时，还需要继续消耗29.85年的时间才能实现。两个时间差相加不难得知，在地球远离飞船并再次返回的过程中，切换坐标系所花费的总时间为：

如果我们从弟弟爱德华增长的60.30岁中扣除这59.7年以后，恰好等于0.6年，哥哥增加了6.03岁，弟弟增加了0.6岁，时间同样变慢了10倍，因此结果完全符合狭义相对论的结论。