一个非常独特的直角三角形

存在这样一种直角三角形，它的三边长度分别是同一个圆的内接正五边形、正六边形和正十边形的边长。若用a5、a6、a10表示圆的内接正五边形、正六边形和正十边形的边长，则

其中

怎么证明？作一个半径为r的圆O。则圆内接正六边形的边长就是圆的半径，即a6=r。圆内接正十边形的边长所对圆心角为36°。我们来考察顶角为36°，腰为半径r的等腰三角形，如下图中三角形OPQ所示。

作角OPQ的平分线PS。显然，三角形OPQ与PQS相似。所以r:x=x:(r-x)。这是一个一元二次方程，可以解出

这个值就约等于半径的0.618，0.618就是黄金比例的近似值。下面我们就可以用尺规作图在半径为r的圆内作出这个长度x，即作出a10。在下图中就是线段OD的长度。OD是这样作出来的：取直径AB，作与AB垂直的半径OC。取AO的中点M，连接CM。以点M为圆心，CM为半径作圆弧，与OB交于点D。则如图中所示，OM、CM、MD，OD的长度也就都可以计算出来。OD正好就是正十边形的边长。

再如下图所示，可以计算出sin18°的值。

从而有

所以

于是得到

而通过计算，得到：

从而得出在下面图中CD的长度就是a5。

于是，上图的作图过程就给出了作圆内接正十边形和正五边形的尺规作图方法，非常简单。下一步只需在圆周上从某一点开始，作正十边形就用OD依次去截取；作正五边形就用CD依次去截取。