你认为数学中最难理解的概念是什么？

从事高等数学相关课程教学工作已十年有余，在教学过程中确实遇到一些概念很抽象、很难理解，反复讲解学生也理解不好，下面谈下我的看法，下列概念难度排名不分先后，只是按照课本出现顺序给出。

1、函数

其实这个概念学生理解起来还算可以，毕竟从初中就开始接触一次函数、二次函数、三角函数等，在高中阶段也学习了幂函数、指数函数、对数函数和反三角函数。可以说中学阶段就已经学习了所有的基本初等函数，那为什么我说这个概念难理解呢？

因为函数的概念是高等数学中给出的第一个概念，不像具体某些函数好理解，也不像是其他的概念给了定义就可以想象出它的形状或用途，函数的概念是非常抽象的。虽然看似简单，其实经历了几千年的发展和完善，不同时期函数的本质在不断的变化，直到康托尔创立了集合论后，才有了我们现在课本上给出的基于函数的概念：

函数的定义 若x与y是两个变量，D是一个非空的实数集合，按照对应法则f，对已任意一个x∈D，都有唯一确定的y与x对应，则称y为定义在D上的关于x的函数，记为y=f(x). 其中x叫自变量，y叫因变量，D叫做函数的定义域。

函数有三个要数：定义域、值域、对应法则。

函数的概念是一个比较抽象的概念，虽然在高中阶段已经学习过了函数的定义，但是真正的从心里理解这个概念并不是那么的容易。

2、极限

极限是高等数学中最重要的概念之一，极限的思想贯穿着高等数学整本书的始终，如连续、导数、定积分和无穷级数等都是建立在极限的思想上的。但这个概念却让很多同学对高等数学望而生畏，因为极限在数学中的定义是通过ε-δ数学语言给出来的，这种数学语言与以往给出的定义不同，非常的抽象！

魏尔斯特拉斯

极限的ε-δ定义是在微积分严格化的过程中，由德国数学家魏尔斯特拉斯给出来的，这种数学语言极大的促进了数学分析的精确化。因为ε-δ定义是从静态的观点出发，把变量解释成一个字母（该字母表示某区间内的数），从而给出了严格定量的极限概念：

数列极限的ε-N定义：设有数列{an}，A有限的常数，若对任意ε>0，总存在正整数N，当n>N时，有|an-A|<ε，则称数列{an}的极限为A。

函数极限的ε-δ定义：设函数 f(x) 在点 a 的某空心领域 U(a，δ′) 内有定义，A为有限常数，若对任意的 ε>0，总存在某个正数δ(<δ′)，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-A|<ε，则称函数 f(x )当x→a时极限存在，且以A为极限。

虽然以上给出ε-δ极限定义在数学的严格化方面做出了巨大贡献，但是在学习的过程中确实给学生带来了很大的困难！

3、连续

连续的定义本身并不难想象，所谓连续就是没有间断，出现间断那也就不连续了，举个最简单的例子就是画一条线，但不能抬笔，形成的就是一条连续曲线。但这种叙述只能意会不能言传，严谨的数学中不允许出现这样的定义。既然这么容易理解为什么又说难理解呢？因为数学课本上给出连续的定义是这样的：

这个定义采用了无穷小定义法，即自变量在x0点的增量为无穷小时，函数的增量也为无穷小.形象地表示了连续性的特征.

通过简单的变换，可以得到极限的第二种定义：

定义2 把极限与连续性联系起来了, 且提供了连续函数求极限的简便方法——只需求出该点函数特定值.

这两个定义没有本质的区别，只是表达形式有所不同，但是把我们想象对连续的认识和课本上的定义联系在一起需要一定的时间去理解。

4、微分

如果说上面的概念都很抽象的话，那么微分的概念则更为抽象，因为每次讲完这个概念后，很多同学并没有搞明白概念说个什么，也许不同层次的学生理解能力有较大区别，但是不能否认微分的概念的高等数学中最抽象的、最难理解的概念之一。

对微分概念的引入一般都是从这个实例开始的

手先，让学生明白微分是函数值改变量的一个近似值！进而，让学生知道这种近似是关于该变量的一种线性函数，是函数值该变量的线性化。

这个概念非常长，一遍讲下来很多同学理解不了，得反复分析和强调才勉强理解大意。

5、积分

这里主要说定积分的定义，定积分的几何意义是曲边梯形的面积。因此定积分的定义总是从曲边梯形面积计算上去引入，经过分割、近似、求和、取极限得到曲边梯形面积的精确表达式。

这以上分析的基础上，给出定积分的定义：

这个定义够不够长？应该是高等数学书上最长的一个定义了吧！其实对于通过分割、近似、求和、取极限四步来求曲边梯形的面积学生还是可以理解的，但是这么一个定义下来学生还是很懵，闹不清定积分到底是什么？因此在讲课过程中需要反复强调：定积分本质就是求和，是“无限细分”后的“无限累加”。

总结

以上提到的数学概念理解起来都有一定的难度，如果说哪个最难理解，我认为极限、微分和定积分应该排在前面，函数和连续的概念相对要简单一些！无论怎么样，高等数学的特点就是高度抽象，因此很多概念都需要反复去思考才能理解概念的本质，毕竟高等数学都是建立在极限思想上的，而极限和基于极限思想上的无穷小量曾引发第二次数学危机，虽然目前问题已经解决，但是对于没有太多数学基础的人来说，理解起来还是有一定的难度的。

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