初中几何：与三角形有关的角平分线模型
【方法技巧】
角平分线性质+三角形内角和定理+三角形外角性质十整体思想，化归思想+设参数计算.
类型一 ：角平分线+高线夹角模型（设参计算+整体思想）
【典型例题1】
(1)已知△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，如图1，设∠B=x，∠C=y，试用
x，y表示∠DAE，并说明理由；
(2)在图2中，其他条件不变，若把“AD⊥BC于D”改为“F是AE上一点，FD⊥BC于D”，试用x，y表示∠DFE=________________；
(3)在图3中，若把(2)中的“点F在AE上”改为“点F是AE延长线上一点”，其余条件不变，试用x，y表示∠DFE=________________；
(4)在图3中，分别作出∠BAE和∠EDF的角平分线，交于点P，如图4．试用x，y表示∠P=_______________．
图1 图2 图3 图4
(1)首先利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数,进而可求出∠BAD的度数，由垂直可得∠BAD=90°-x，进而可求∠EAD的度数；(2)(3)同(1)可得；
(4)由题意可知：∠PAF=1/4(180°-x-y)，再利用已知条件、对顶角的性质和角平分线的性质即可求出∠P的度数
如图，BP,CP分别平分∠ABD,∠ACD，它们交于点P．求证：∠P=1/2(∠A+∠D)．
延长BP交AC于点E，设∠PBA=∠PBD=x，∠PCA=△PCD=y，
∠BPC=∠BEC+y=x+∠A+y，∴x+y=∠BPC-∠A，同理可得∠D=x+y+∠BPC=2∠BPC-∠A．
∴2∠BPC=∠A+∠D,
∴∠P=1/2(∠A+∠D)．
（1）模型：如图1，AD，BC交于O点，求证：∠D+∠C=∠A+∠B．
（2）模型应用：如图2，∠BAD和∠BCD的平分线交于点E.
①若∠D=30°，∠B=40°，则∠E的度数是_______；
②直接写出∠E与∠D，∠B之间的数量关系是_______；
（3）类比应用：如图3，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E.若∠D=m°，∠B=n°，(m＜n)．求∠E的度数．（用含有m，n的式子表示）
图1 图2 图3
(1)∠AOC既是△AOB的外角，又是△COD的外角，
∴∠D+∠C=∠AOC=∠A+∠B；
(2)①35°；②∠E=1/2(∠D+∠B)；
(3)延长BC交AD于F，
∴∠BFD=∠B+∠BAD，∴∠BCD= ∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D．
∵CE平分∠BCD, AE平分∠BAD，
∵∠ECD=∠ECB=1/2∠BCD，∠EAD=∠EAB=1/2∠BAD，
∵∠E+∠ECB= ∠B+∠EAB，
∴∠E=∠B+∠EAB-∠ECB=∠B+∠BAE-1/2∠BCD=∠B-∠BAE-1/2（∠B+∠BAD+∠D）=1/2（∠B-∠D），
∵∠D=m°，∠B= n°，即∠E=1/2（n-m）°．