压轴题打卡98：二次函数有关的综合问题

如图已知A（﹣9/4，0），C（0，3），B为x轴中正半轴上的点，以AB为直径的圆过C点．

（1）求∠ACB的度数；

（2）已知抛物线y=ax²+bx+3经过A、B两点，求抛物线的解析式；

（3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：

考点分析：

二次函数综合题；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；综合题；分类讨论．

题干分析：

（1）根据以AB为直径的圆过C点可得，AB为圆的直径，进而得到∠ACB=90°；

（2）通过判定△AOC∽△BOC，根据OC²=OA·OB，求得B（4，0），再把 A、B的坐标分别代入抛物线y=ax²+bx+3，得 a和b的值，进而得到抛物线的解析式；

（3）当△BOD为等腰三角形时，有OD=OB、BD=BO或DO=DB这三种可能，需要分三种情况讨论：①当OD=OB时，不可能；②当OD=DB时，可得D的坐标为（2，,3/2）；③当BD=BO时，可得D（4/5，12/5）．

解题反思：

本题属于二次函数综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例定理以及勾股定理的综合应用，解题时需要根据圆周角的性质求出角的度数，用待定系数法求出抛物线的解析式，根据等腰三角形的性质确定点D的坐标．解答此题的关键是画出图形，作出辅助线，结合等腰三角形进行分类讨论．

▷