补全基本图形式的中考命题-大连2020年的中考之旅

特邀撰稿人：老贾（强哥之门生）

上回，我们一起赏析了2019-2020甘区九年级上学期期末25题，真的是一道不错的题目！今天我们也将结合这道题目，以及另外三道题目来分析一下补全图形和一般辅助线之间的差异。

不过，我们先把另外两个区的25题及参考答案或简略分析放置于此，以减轻“厚此薄彼”之嫌疑。

我们先来看一下高新园区的第25题：

阅读下面材料，完成(1)-(3)题.

数学课上，老师出示了这样一道题:如图，△ABC中，D为BC中点，且AD=AC,M为AD中点，连结CM并延长交AB于N.探究线段AN、MN、CN之间的数量关系，并证明.同学们经过思考后，交流了自已的想法:

小明：“通过观察和度量，发现线段AN、AB之间存在某种数量关系.”

小强：“通过倍长不同的中线，可以得到不同的结论，但都是正确的，大家就大胆的探究吧.”

小伟：“通过构造、证明相似三角形、全等三角形，就可以将问题解决.”

......

老师: “若其他条件不变，设AB=a,则可以用含a的式子表示出线段CM的长.”

（1）探究线段AN、AB之间的数量关系，并证明；

（2）探究线段AN、MN、CN之间的数量关系，并证明；

（3）设AB=a,求线段CM的长（用含a的式子表示）.

解析

参考答案给了一些不同的解法，老贾只给一个图形：过A作AE∥BC交CN延长线于E，连接EB、ED。我们容易证明梯形EBCA是一个等腰梯形，且BC=2EA。说到这里，大家可以明白老贾为啥说这道题是“新瓶装旧酒”了吧！即使是高新园区的题目，也是在一些练习册上常见的，实在没有必要在这里进行评论。

接下来我们一起来看一下西岗区的25题：

阅读下面的材料：

小明同学遇到这样一个问题，如图14，AB=AE，∠ABC=∠EAD，AD=mAC，点P在线段BC上，∠ADE=∠ADP+∠ACB，求BC/AD的值．

小明研究发现，作∠BAM=∠AED，交BC于点M，通过构造全等三角形，将线段BC转化为用含AD的式子表示出来，从而求得BC/AD的值（如图15）.

（1）小明构造的全等三角形是： ≌ ；

（2）请你将小明的研究过程补充完整，并求出BC/AD的值．

（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图16，若将原题中“AB=AE”改为“AB=kAE”，“点P在线段BC上”改为“点P在线段BC的延长线上”，其它条件不变，若∠ACB=2α，求：DE/BC的值（结果请用含α，k，m的式子表示）．

解析

原卷参考答案给出了辅助线的做法，其实该做法并不意外，随后只要应用等腰三角形，以及应用与△ADE相似的三角形的关系，结合解三角形，就能够解决这个问题。我们只在这里说明一下辅助线的做法即可，至于相似关系，相信读者朋友们根据辅助线一定可以很快解决的！

（2）解：过点A 作∠BAM＝∠AED 交BC 于点M．

（3）解：过点A 作∠BAM＝∠AED 交BC 于点M，过点C 作CN⊥AM．

说了这么多，我们终于可以书归正传了。我们讨论一件什么事情呢？就是关于上回书说的中考平面几何压轴题的辅助线做法及命题思路，也分析一下所谓“补全基本图形”与其他辅助线之间的区别。我们以两道依据全国数学联赛为原型改编的题目为例。

题目1（改编自2003年全国初中数学联赛第二试第二题）

如图，在四边形CEPF中，∠CEP=∠CFP=90°，在CE上取点A，在CF上取点B，使得∠APE=∠BPF。D为AB中点，连接DE、DF。求证DE=DF。

题目2（改编自2004年全国初中数学联赛第二试第二题）

如图，△CBE，以其边BC和CE作正方形ABCD和CEFG，连接DG。过C作CH⊥BE交BE于H，HC延长线交DG与I，求证：IC平分DG，且IC=(1/2)BE.

解析

上述两道题目中，第二道题叫做 “补全基本图形”，第一道题叫做其他辅助线（当然，这个其他是相对“补全基本图形”而言的，本身没有这种叫法）。第二道题是哪个基本图形呢？就是我们在讲证明勾股定理的时候用到的一个基本图形，如下图所示：

也就是说，题目2中，JH左边的图形和JH右边的图形分别为上述基本图形。将两个图形拼接之后，删掉JG和ID两条线，得到了一个新的几何题。所以，如果上述用来证明勾股定理的几何图形如果学生很熟练的话，那么这道2004年全国初中数学联赛题目的改编学生会很自然地解出来。

至于题目1，也是一道非常不错的题目，取AP、BP中点点之后，连接，则可以应用直角三角形斜边中线的性质和中位线的性质将这道题目解决。只不过，这道题目并不是将哪一个基本图形部分隐藏获得。因此考生在平时不能够自己去领悟编写出这样一道题目，但是对于题目2来说，考生或教师则可以选取经典的几何变换图形对题目进行很好的改编。

老贾的总结总是认真而独到

最后，我们再以2019年大连中考数学第25题的图形为例。这道题也是一道非常好的“几何变换图形改编”的一道题目。这道题目，老贾打算把变换前的图形补画出来，但是，为了请大家亲自意会一下老贾所说的经典图形进行删减出新题，老贾不先做文字性说明。

怎么样，大家有没有发现，△ABM与△ADC之间存在怎样的变换关系呢？△AMC是什么三角形呢？有没有和它相似的三角形呢？四边形BMNG又什么图形呢？讲到这里，老贾相信读者朋友们一定发现了，2019年中考25题就是将旋转变换去掉了四条线，形成一个新的图形。所以，如果考生平时对旋转变换这个基本的几何变换熟悉的话，这道题的原题第一问解决之后，第二问和第三问可以说是秒杀！

这次的文章是系列文章中的最后一篇。不知道老贾的拙见有没有给诸位一点关于备考2020中考的解题思路。当然，最后的中考老贾并不敢说会怎样考。但是，只要这些基本功都牢牢掌握，并且掌握其变化，那么再解决中考25题的时候，考生将更加的镇定自若！