解一道网红小学几何题
本文解一道网红小学几何题，适合初中学历读者。
问题
如图，正方形 ABCD 边长为 1，以 A 为圆心 AD 为半径画得 BD 弧，以 BC 为直径在正方形内画得半圆，求 BD 弧与半圆相交所得阴影部分的面积。
方法一：几何方法
如图，弧 BD 交半圆于 E，取 BC 中点 O，连接 AE, AO, OE。
由于 BC 为半圆直径，则 O 为圆心。注意到 AB = AE, OB = OE，AO 为公共边，因此我们有
令
，则
根据扇形面积的计算公式可知，扇形 ABE 面积为
扇形 OBE 面积为
四边形 ABOE 的面积为
那么阴影面积为
方法二：解析方法
如图，以 B 为原点，BC 为
轴正方向建立平面直角坐标系。为了书写方便，令
那么有
弧 BD 的方程为
半圆 BC 的方程为
联立两个方程可解得 E 坐标为 (0.8, 0.4)。
先计算扇形上的弧 BE 与
轴所围的面积
，如下图
令
得
再计算半圆上的弧 BE 与
轴围成的面积
，如下图
令
得
那么阴影部分面积为
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