小升初/分班考数学：寻找规律

这道题来自某市著名学校分班考试卷压轴题。这算是比较难得规律题了，放在中考压轴的位置都不为过，只能说现在的分班考真的越来越难了。

先来观察1-5个式子，左边比较简单，第n个式子的左边比较容易找，也就是从1³+2³+3³+……+n³   关键是看我们怎样找到左边的数到底是什么？

观察这样一个数字串  1、3、6、10、15……如果用后一个数减去前一个数，就得到2、3、4、5……可以想象，15下一个数就是21，再下一个就是28……

那第n个到底怎样找出来呢？对于小学生来说，这确实非常难！！

这种我们称为“差等差”数列，是中考的常客，比如2020年中考里就有不少题目：

最后一题，直接跟我们这个题是一模一样，排列规律就是1、3、6、10、15……

好吧，毕竟是中考压轴类型之一，如果你看不懂，也是正常的。这里我们有两种算法：

1）设第n个数为an，则

a2-a1=2

a3-a2=3

a4-a3=4

……

an-a(n-1)=n

左边累加得an-a1=2+3+4+……+n

得到右边式子，很多小学生都有学过，著名的数学小王子，高斯就是运用公式快速求和得到，也就是（首项+末项）×项数÷2

从而an=a1+2+3+4+……+n=1+2+3+4+……+n

=（1+n）×n÷2=n(n+1)/2

检验一下：a2=3 正确；a3=6

从而第n项为  [n(n+1)/2]²

从而第一问答案就出来了：1³+2³+3³+……+n³=[n(n+1)/2]²

说来这一问挺残暴的，这本来就是高中的思想，初中的压轴题，变成了小升初分班考试的题目了。当然，大部分孩子是不能理解以上过程的，所以只能给他们一个公式去套用，这里我就不讲如何套用公式了。

事实上，我估计出题者的意图并不是我想得这样，而是希望孩子们在观察这个式子的时候，能够将1-1、12-3、123-6、1234-10、12345-15对应起来，然后发现第n个1989式子就是(1+2+3+……+n)²

也就是1³+2³+3³+……+n³=(1+2+3+……+n)²

如果是这样，其实要求更高，也就是说，你要综合整个式子来对结论进行判断，需要更强大的整体意识。

第二问，又更深层的问题。这个问题的解答关键点在于，能够将 需要解答的问题转化成我们已知的条件，这种转化的能力，通常也是很多学生所没有的，也就是为何有学生一见到新的题目就不会做的原因所在。

注意到4³+5³+6³+7³+8³+9³=(1³+2³+3³+4³+5³+6³+7³+8³+9³)-（1³+2³+3³）=(1+2+3+……+9)²-6²=45²-6²=51×39=1989

小学这种题目非常非常难！但这样的考试也是不公平的，如果大家曾看过数学方面的科普书籍，这个公式也是常客，也曾被人誉为数学对称美的体现，数学就是这么神奇，如果有同学已经看过这个等式，那他考试起来想都不用想，直接可以写出答案，又怎能区分出哪个学生是经过思考得到答案，而哪个学生是背出来的答案呢？

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