奇妙的三角形“内心”

今天这道题倒是不复杂，只是不好找到方向罢了。

题中既然要让求出r的值，说明这个外接圆的半径肯定是固定的，

而OD这个线段也是一个固定的线段，

那么△OID的外接圆的圆心肯定在其垂直平分线上，

而OD是已知的长度，

那么就说明半径r和OD肯定能够组成一个特殊的等腰三角形，

所以就去朝着这个方向思考吧，

要么等腰直角，要么等边，

到底是哪一种呢？

不妨先把圆画出来，

这样画出来之后，△OHD明显像是等腰直角，

那么同时我们假设OD的垂直平分线交⊙H下方于E点，

如果∠OHD=90°，那么所对的圆周角∠OED=45°，

现在问题来了，饶了这么一圈，好像和内心I没有毛线关系，

那么既然有内心，肯定要跟它扯上关系，

既然∠OED为45°，

那么连接OI和ID后，∠OID不就是135°吗

现在得到了∠OID的度数，

那么此时再看图就会比较明显了，连接PI，则出现三角形全等，

如图，△OIP≌△OID，

那么∠PIO=∠DIO=135°，

那么事实是否如此呢？

根据三角形内心的性质可知，

∠PIO=90°+0.5∠PQO=135°，

显然很符合上面的推理。

那么整个思路已经捋顺了，

接下来只要倒着推回去即可；

辅助线不再叙述了，

首先得到∠PIO=135°，

再证△PIO≌△DIO，

从而得到∠DIO=135°，

那么圆周角∠OED=45°，

所以圆心角∠OHD=90°，

而OH=DH，

所以△OHD是等腰直角，

所以半径r可得；

周日满分课的时候还遇到一道物理电功率方面的题目，可以称得上稍微难题吧，毕竟还牵涉到解方程问题，可能九年级目前的同学们不会往这方面想，所以明天推送这道题。