幂律分布

什么是幂律分布？

用数学表达就是“节点具有的连接数和节点数的乘积是一个定值”。简单说，在一个系统里，如果拥有1万元的人有10个，那么拥有1000元的人就有100个，而有10块钱的人就有1万个。这种分布现象就是幂律分布。

幂律分布的两个特征：1、高度的不平均。 2、无标度（分形）

说幂律分布，你可能不太了解，但你肯定听过一个词，叫“二八法则”。比如全社会80%的财富集中在20%的人手里，一个行业80%的市场被20%的头部公司占据，一家公司80%的生意来自20%的重点客户……二八法则，其实就是幂律分布最直观的表现。这也是幂律分布特征之一，高度的不平均。

图里横坐标，代表随机变量的取值；纵坐标，代表发生的概率。而幂律分布就是一条向下的曲线，拖着一个长长的尾巴。它的含义也非常明确——在随机变量中，越小的数值，出现的概率越大；越大的数值，出现的概率则越小。

虽然幂律分布无处不在，但它的数学特征只有一个，就是无标度，也叫“无尺度”“尺度无关”。不管怎么叫，意思是一致的——在任何观测尺度下，幂律分布都呈现同样的分布特征。

一般的分布都会有个尺度范围，在这个范围内服从这个分布，超过这个尺度可能就不服从这种分布了。而幂律分布没有尺度的限制，不管截取任何一个部分，都仍然呈现幂律分布的特征。

比如，图书销量是服从幂律分布的，最畅销那本书的销量在前10名销量中占的比例，和前10名的销量在前100名的销量中占的比例，和前100名在前1000名的总销量中占的比例，大体都是相同的。

这就是幂律分布的数学特征——无标度。符合幂律分布的网络，又被称为“无标度网络”。如果你懂”分形“的话，分形的结构自相似性符合幂律分布。

世界是不公平的

幂律分布和正态分布，给我们展示了两个不同的世界。在正态分布的社会里，中等收入阶层占绝大多数，低收入和高收入阶层只占极少数。这种分布，被认为是非常理想的社会结构，对聪明勤奋的人有激励，让弱者的落差感没那么大。但是真实世界的趋势，是越来越像幂律分布。第一个为幂律分布命名的是经济学家帕累托。他发现，在19世纪的意大利，极少数的富人赚走了绝大部分的钱，大部分家庭的收入都很低。他的这一发现被后人称为“帕累托法则”，也叫“二八定律”

用《新约·马太福音》里的话就是：“凡有的，还要加倍给他叫他多余；没有的，连他所有的也要夺过来。”用现在的话来说，就是“穷者越穷、富者越富”。

为什么会产生幂律分布？

幂律分布之所以产生，是网络中的相互影响和正反馈的结果。因为这些分布里头的个体并不是独立的，而是相互联系的。如果一个分布中的个体相互独立，那么这样子的分布就会倾向于比较温和，比如身高、体重、智商，这些现象，人和人之间是互不影响、彼此独立的。它们不是网络现象，所以，它们服从的是正态分布。

但是，财富、人脉、声望，还有人口和点击量，它们都是网络现象。一个人有多少钱、有多少人脉、有多少关注度，是在跟别人的互动中形成的。你必须把这些现象放到网络之中，才能理解它为什么是这样。

那么，网络为什么会呈现幂律分布呢？

这跟网络的生长机制有关。物理学家巴拉巴西（Barabási Albert-László）认为，网络生长的方式不是随机发生的，而是优先连接。当新的节点加入网络，或者网络中有新的连接产生时，连接度高的节点会比连接度低的节点更有可能得到新连接，这就是所谓的优先连接。

在社交网络中，一个人的朋友越多，就越有可能认识新朋友。

在互联网上，一个短视频的点击量越高，就越容易被更多的人看到。

在学术界，一篇论文被引用的数量越多，就越有可能被其他的论文引用。

正是在优先连接这一机制的作用下，网络才出现了幂律分布的结果。幂律分布的出现，预示着一个系统从无序到有序的过程，从随机网络发展到无标度网络的过程。幂律分布的结果，是少数的节点能够施加影响，重新组织整个系统。以航空网为例，伦敦、芝加哥、法兰克福、阿姆斯特丹的机场都非常地大，有通往全国各地、全世界各地的航班，它们是全球航线网络中的超级节点。但是与此同时，还有大量的小机场，他们是地方性的，只维持了几条航线。航空公司通过小机场覆盖尽可能多的乘客，又通过大机场这样的超级节点，最大程度地减少了转机的次数。所以，航空网的效率，来自于他们主动运用了幂律分布

幂律分布是个无法预测的魔鬼

幂律分布魔鬼的一面，主要体现在三个方面。

第一，幂律分布让平均数失去意义。

正态分布是一种均匀对称分布，大多数数据都集中在平均值附近，所以平均值非常有用，因为它代表大多数。而幂律分布呢？它的数据变化幅度非常大，平均值毫无意义。拿个人收入来说，有一贫如洗的穷人，也有挥金如土的富豪，把这两群人的资产平均，完全没有意义。

小布什总统就曾在竞选演说中玩过这个把戏。他说，2003年的减税计划让每个美国家庭平均少纳税1586美元。从数字上看，这句话没有撒谎，但它有很强的误导性。

因为财富服从幂律分布，是高度不对称的。大部分普通家庭收入不高，减税的额度很有限；但小部分收入极高的家庭，可能会获得几万甚至几十万的减税额度，一下就把平均数拉高了。事实上，当年减税的中位数是650美元。也就是说，有一半的家庭连650美元都没达到，更别提1500多美元了。

这就是幂律分布，随机变量波动的范围非常大，常用的平均值、标准差到这里都没用了。如果说正态分布是概率分布的神，构建了一个稳定的秩序；幂律分布就是一个喜怒无常的魔鬼，让已有的秩序和工具全部失效，使一切变得难以捉摸。

第二，幂律分布让原本不会发生的极端事件发生。

在数学上，这个叫“长尾”，也叫肥尾、厚尾。简单说就是，虽然极端数据出现的概率很低，但这个概率永远不会趋近于0，永远不会小到可以忽略不计。

这也和正态分布不同。在正态分布里，数据非常集中，非常极端的数据几乎不可能出现，可以直接忽略不不计。而在幂律分布里，再极端的数据都有出现的可能。

我可以用生命打赌，你在街上不可能看到身高超过5米的巨人。但一个城市的人口超过3000万，一本好书在畅销榜上盘踞30年，一个人的资产超过3000亿，这些事情虽然可能性很小，但仍然随时可能发生。就像超大规模的自然灾害，虽然发生概率极低，但我们知道它一定会发生。

而在幂律分布里，极端数据往往意味着极端事件。而极端事件，比如超大型海啸、超强大地震、席卷全球的金融风暴等，都会给人带来非常大的损失。

正态分布构建的世界非常稳定，只需要考虑常规、考虑大多数就可以。但是幂律分布仿佛拥有一种神奇的魔力，让不可能发生的事情变得可能。它全然不顾人们的预测，也不理会常规，而是悄悄躲在阴暗的角落，不经意间给人类致命一击。你说，它是不是个魔鬼？

第三，幂律分布完全不可预测。

听完前两点，你可能会说：虽然幂律分布很可怕，但我们还是可以对它进行科学研究，然后攻克它啊？

没错，科学家们确实一直致力于幂律分布的研究。但告诉你一个悲伤的结论，到目前为止，幂律分布还完全无法预测。即便是在简单的模型里，我们也完全无法做出任何有效的预测。

比如著名的“沙堆模型”，在平台上不断添加沙粒，慢慢形成一个沙堆。随着沙堆高度的增加，新添加的沙粒会带动沙堆表面其他沙粒滚落，产生所谓的“沙崩”。统计沙崩的规模和发生的频率，科学家发现它服从幂律分布。

这是一个极其简单的模型实验。所有物理知识我们都掌握，而且能用计算机跟踪每一粒沙子的位置，但仍然找不到沙堆崩塌的原因。我们既不知道在什么条件下，再放一粒沙子就会导致沙崩，也无法预测这粒沙子导致的沙崩规模会有多大。所以到目前，我们对于幂律分布，比如说各种自然灾害，基本还是束手无策。

你可能会说，不是有“二八法则”吗？我们抓重点，抓住重要的20%不就好了吗？可能很多人都会这么告诉你，但我想说的是——这是个存量思维，可以总结过去，却对未来没有用。因为虽然我们知道80%的生意来自于20%的客户，但永远不知道下一个客户是属于重要的20%，还是不重要的80%。还是那句话，幂律分布不可预测。

我们知道大灾难影响很大，而且一定会来，却不知道下一场大地震、下一场森林大火、下一场战争、下一次金融危机会什么时候发生，以及会带来多大的损失。我们知道公司市值、电影票房、社会财富的分布极不均匀，却寻找不到方法规避风险。这真是让人绝望。

虽然幂律分布是中性的，没有好坏之分，但是站在人类的角度上来说，在一次次的自然灾害面前，我们还是会不由自主的产生一种念头——幂律分布就是个彻彻底底的魔鬼。

可怕的魔鬼带来新希望

虽然幂律分布无法预测，但我们能不能找到它产生的原因呢？找到了产生的原因，不就能避开地震、火山爆发、海啸等自然灾害了吗？

道理是这样，但现实可能又要让你失望了。幂律分布产生的原因，目前没有统一的答案。各种解释众说纷纭，谁也说服不了谁。

其中一个比较主流，是1982年诺贝尔物理学奖得主肯尼斯·威尔逊的观点。因为这个研究给人类对抗熵增，对抗世界的宿命，提供了新的希望。

威尔逊的研究突破，源于水变成冰这个常见的生活现象。他发现，在水变成冰的过程中，存在一个神奇的临界温度——在临界温度之前，水分子里原子的自旋都是随机指向不同的方向；可一旦到了临界温度，就会非常有序地指向同一个方向。

这是个神奇的事情，为什么在那一瞬间突然就从混乱变成了有序呢？

威尔逊收集了很多临界态一瞬间的关键数据，结果发现，每个指标都在临界态附近涌现出了幂律分布。换句话说，在水变成冰，也就是从无序到有序的临界状态上，所有指标都呈现出幂律分布的现象。而我们知道，无序是熵值最大，有序是熵值最小，所以这也就说明，在从无序到有序这个熵减的过程中，幂律分布必然发生。

为什么说这个结论给人带来希望呢？

你想，如果这个理论是幂律分布产生的原因，那幂律分布就是我们对抗熵增的必经状态。只要一个生命还存在，一个系统还在演化，它就必然在做熵减的工作，所以出现幂律分布也就不足为奇。这也正好解释了正态分布和幂律分布在生活里都很常见，秒杀其他分布的原因。

所以你看，虽然幂律分布像魔鬼一样狡诈、难以预料，但它可能是我们对抗熵增的必然选择，是每个系统从无序到有序，从混沌到清晰，从未知世界到规律世界的必经之路。幂律分布存在的地方，看似凶险，却恰恰是对抗熵增，对抗死寂，对抗死亡的角斗场，是我们的希望之光。

幂律分布对我们的启示

幂律无处不在，给我们的一个最重要的启示是：社会和自然的大部分系统都有重点，做事情一定要抓重点，持续地抓住重点，就抓住了最高效率的关键。

你若在一个三线城市的小公司的小部门工作，你的部门其实有重点的。每天的工作看上去都是同样无聊，其实也许和某个领导某个时刻的沟通特别重要，会影响你一辈子，而其他工作可能做到80分就很好。

这种利用小的投入能撬动更大收益的工具，就是杠杆。幂律告诉我们，每个系统里都有杠杆点，找到这个杠杆点，能迅速放大一个人的努力，达到事半功倍的效果。

幂律分形，意味着刚才提到的系统的重点都能继续再分，找到更微妙的重点。杠杆点上，还能继续加杠杆。

以二八法则为例。大家只知道20%投入有80%的收益，其实进一步想想，这20%里依然遵循二八法则，有20%的20%。同理再推进一层，我们可以找到二八法则的三次方：找到20%的20%的20%，收获80%的80%的80%。你的效率就是别人的64倍。

二八法则：20% —— 80%

二八法则二次方：4% —— 64%

二八法则三次方：0.8% —— 51.2%

当然，最难的是在变化的世界里持续找到那核心的20%。这个最难，但也最有价值。一家公司从天使投资到B轮，天使投资人大概会以100倍收益退出，付的就是这个当年发现20%的钱。

找到事物的核心杠杆点需要大量的观察和思考，然后抵抗住各种诱惑，坚定地持续专注这20%，这需要强大的定力。这是投资的思考方式，也是自我投资者——高手——最重要的战略。