圆锥曲线中的第三定义及运用

圆锥曲线中的

第三定义及运用

一、 椭圆和双曲线的第三定义

1. 椭圆

2. 双曲线

二、 与角度有关的问题

点评：

其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法，并不影响题目的解答。两顶点一动点的模型要很快的联想到第三定义，那么剩下的任务就是把题目中的角转化为两直线的倾斜角，把正余弦转化为正切。题目中的正余弦化正切是三角函数的常见考点☆。

点评：

与例题1采取同样的思路转化角，但对于正切转换的要求较高。两锐角正切乘积为1即表示sinα=cosβ，cosα=sinβ两角互余☆，则可解出α的值。当然双曲线的题目较于椭圆和抛物线题目考试概率较小，但既然提到了双曲线的第三定义，不妨做一做。

三、 与均值定理有关的问题

点评：

对于常规解法，合理利用M、N的对称关系是解题的关键，这样可以利用椭圆的第三定义将两者斜率的关系联系起来，既构造了“一正”，又构造了“二定”，利用均值定理“三相等”即可用a、b表示出最值1。当然将前的系数改为不相等的两个数，就不能利用特殊值法猜答案了，但常规解法相同，即变式2-1。

点评：

这道题可以增加对于圆周角的理解，在用极限法讨论：“当Q趋近于A、B两点时

，”时能会颠覆“

”的认知，当然这肯定是错的，结合常规解法可以看出此时是角最小的情况，而不是角最大的情况。要搞清楚，不然会被弄晕的。对于常规解法选择正切表示角的大小的原因有二：①与第三定义发生联系②tanx在单增便于利用tanx的大小比较角度的大小。

四、 总结归纳

1. 上述部分题目的常规解法较复杂，但做题时一定要能猜答案，而且要猜得有理由。

2. 对于均值不等式，注意取等条件是“三相等”，即相等时取最值。这可以帮助猜测表达形式是高度对称的式子的最值，如：例题2

3. 极限法可以刻画出单调变化的某一变量的端点值，如：变式2-2中P在椭圆上滑动，角度的变化一定是光滑的（无突变，连续）， 所以只需考虑边界值。

4. 做几何的选填题时，有时利用圆周角定理可以很快的找到最大角，注意学会恰当运用，如：变式2-2。

5. 常以正切值刻画角度大小。

6. 在做综合性较大的题目时要联系各种知识，灵活转化，以最巧妙的方法致胜。

五、 方法链接

针对上文提到的“圆周角找最大角”与“椭圆中另一类均值”进行拓展补充，各附例题。

点评：

常规方法依旧是利用正切度量角的大小，但注意用倾斜角表示所求角时要用大角减去小角，才能得到正角；均值时要注意以分子（一次）为新元构建均值。用圆周角角的性质解答，只要转化为切点，解一个方程组，比较两个角谁大就行了。（不比较也行，画图可知右边角大于左边角：弦长相等，半径越大，弦所对的圆周角越小。）其实两种解法的难度是一样，只是一种要写得多，一种要想得多。☆

点评：

可以说这道题与例题3有异曲同工之妙，直观感觉加上圆周角定理可以说是画几个圆就解出题了。其实余弦函数在单调，也可用来度量角的大小。

不过更值得一提的是两种方法以不同的方式，间接地表现了题中点的关系，设点的方式☆值得思考领悟。解法一照顾垂直结论，把重心放在原点，利用重心的坐标很好地刻画了C点的坐标；解法二联系圆的直径所对圆周角为直角表示垂直条件，以同样方式刻画C点的坐标。两种方式都完全的展现了题目中的关系。

点评：

解法巧妙，很难想到，权当欣赏。注意看到题目就要马上联想到圆的切点弦方程，当遇到面积表达式中含有|x0y0|时，可对椭圆进行均值，构造|x0y0|的范围。