41解析几何解法：风吹草动-轨迹问题
41：风吹草动 - 轨迹问题
例1:(2015年广东)已知过原点的动直线
与圆
相交于不同的两点
,
.
(1) 略;(2)求线段
的中点
的轨迹
的方程.
解析:
法1:直接法
连接
,设
,因为
为线段
的中点,所以
,
故
,即
,化简得
.
因动直线
与圆
相交于不同的两点,可得
,
所以点
的轨迹
的方程为
,
.
法2:定义法
连接
,设
,因为
为线段
的中点,所以
,故点
的轨迹为以
为直径的圆,圆心为
,半径为
,所以点
的轨迹
的方程为
,
因动直线
与圆
相交于不同的两点,可得
,
所以点
的轨迹
的方程为
,
.
法3:交轨法
点
为动直线
与动直线
的交点,由题意直线
的斜率
存在,
当
时,因
为线段
的中点,所以
的斜率为
,
所以直线
方程为
,直线
方程为
,
由
消去
得点
的轨迹
的方程为
,
当
时,求得
,符合上述方程,
因动直线
与圆
相交于不同的两点,可得
,
所以点
的轨迹
的方程为
,
.
法4:参数法
由题意直线
的斜率
存在,设直线
方程为
,
,
,
,
由
得
,
由
得
,
由韦达定理得
,
,
所以
,(
为参数),
消参化简得点
的轨迹
的方程为
,
.
例2:(2017全国Ⅱ)设
为坐标原点,动点
在椭圆
上,过点
作
轴的垂线, 垂足为
,点
满足
.
例2:(2017全国Ⅱ)设
为坐标原点,动点
在椭圆
上,过点
作
轴的垂线, 垂足为
,点
满足
.
(1) 求点
的轨迹
的方程;(2)略.
解析:相关点法
设
,
,则
,所以
,
,
由
得
,
,
因为点
在椭圆
上,将
,
代入椭圆方程得
,
所以点
的轨迹
的方程为
.
1.求动点轨迹方程关键:根据已知条件,构造一个关于动点
的坐标
,
的方程
.
2.求动点轨迹方程常用方法:直接法,定义法,相关点法,参数法,交轨法.
3.求动点轨迹方程注意事项:求出轨迹方程后一定检验,不合要求的点要挖去,遗漏的点要补上.若是求轨迹,则求出轨迹方程以后还要指出轨迹方程表示什么图形.
1.直接法
(1)适用情况:若动点
满足的几何条件本身是一些几何量的等量关系或这些几何条件简单明了且易于表达,我们只需把这种关系转化为动点
坐标
,
的关系就得到动点轨迹方程.
(2)一般步骤:①建系,②设点,③列式,④化简,⑤检验.
2.定义法
(1)适用情况:若动点
的轨迹符合某一基本轨迹(如圆,椭圆等)的定义,则可根据定义设动点
方程,再依已知条件求出所设方程中的系数.
(2)一般步骤:①确定动点
的轨迹符合何种曲线定义,②设曲线标准方程,③求所设方程中的系数,④求得动点
轨迹方程.
3.相关点法
(1)适用情况:若动点
是随另外一个相关的动点
运动的,而动点
轨迹方程
是易得的,则将
的坐标用
坐标来表示,再代入
化简即得动点
的轨迹方程.
(2) 一般步骤:①设所求轨迹方程的动点
,与之相关且轨迹方程易得动点
,②求出关系式
,
,③将
,
代入动点
的轨迹方程,④化简即得动点
的轨迹方程.
4.参数法
(1)适用情况:当动点
的坐标
,
的关系难以建立时,先寻找
,
与某一变量
的关系,得到
,这便是动点
的轨迹参数方程,若消去参数
,便得到动点
轨迹普通方程.
(2)一般步骤:①设所求轨迹方程的动点
,设合理的参数
,②建立
的坐标
,
与参数
的关系
,③消去
中的参数
,化简即得动点
的轨迹方程.
5.交轨法
(1)适用情况:当所求轨迹方程的动点
是两条动曲线
,
的交点时,可通过联立
,
方程,求出动点
的坐标,(一般含参数),再消参化简即求出动点
的轨迹方程,或联立
,
方程,再直接消去参数化简即可.
(2)一般步骤:①确定动点
是哪两条动曲线(记为
,
)的交点,②把曲线
,
方程用参数表示出来,③联立
,
方程直接消去参数,或先求出
,
再消参数,④化简即得动点
的轨迹方程.
1.(2020年海淀)已知点
,点
是圆
上一动点,线段
的垂直平分线交
于点
,则动点
的轨迹方程为__________.
2.（2017晋中一模）设
,
,
是椭圆
上三个点,
,
在直线
上的射影分别为
,
.
(1)若直线
过原点
,直线
,
的斜率分别为
,
,求证:
为定值;
(2)若
,
不是椭圆长轴的端点,点
的坐标为
,
与
的面积之比为
,求
中点
的轨迹方程.