神奇的莫比乌斯环
莫比乌斯环的发现
一张卷成一个圆柱形即可。怎么判断是两个面？只要用一种颜色的绘笔，在纸圈上的一面涂抹，涂完一个面后，提笔才能重新涂另一个面。边也一样。
提问：能否将它变成1条边，1个面呢？也就是说，能否用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，把整个纸圈全部抹成这种颜色而不留下任何空白？关于这个问题，很多数学家都有过思考。
莫比乌斯（Moebius，1790～1868）在研究“四色定理”时，也对此发生了浓厚兴趣。他长时间专心思索、试验，毫无结果。
1858年的一天，他被这个问题弄得头昏脑涨，便到野外散步。野外那新鲜的空气和清凉的风使他顿感轻松，但他头脑里仍然只有那个尚未找到的圈儿，就连一片片肥大的玉米叶子，在他眼里都变成了“绿色的纸条儿”。他不由自主地蹲下来，摆弄着、观察着。叶子弯曲着耸拉下来，有许多扭成半圆形的，他随便撕下一片，顺着叶子自然扭的方向对接成一个圆圈儿。他惊喜地发现，这“绿色的圆圈儿”就是他梦寐以求的那种圆圈！
莫比乌斯回到办公室，裁出纸条，把纸的一端扭转180°，再将一端的正面和背面粘在一起，这样就做成了特殊的纸圈儿。接着，莫比乌斯捉了一只小甲虫，放在上面让它爬。结果，小甲虫不翻越任何边界就爬遍了圆圈儿的所有部分。莫比乌斯激动地说：“公正的小甲虫，你无可辩驳地证明了这个圈儿只有一个面。”就这样有意无意间，莫比乌斯发现了三维欧几里德空间中的一种奇特的二维单面环状结构——后人称之为莫比乌斯环(Mobius strip)。
奇特的莫比乌斯环
如莫比乌斯所做，只要将一个长方形纸条ABCD的一端AB固定，另一端CD扭转180度后，把AB和DC粘合在一起就可得到一条莫比乌斯环。
莫比乌斯环的制作
莫比乌斯环的重要特性是：虽然在每个局部都可以说正面、反面，但整体上不能分隔成正面和反面，即这种曲面是只有一个面的 “单侧曲面”。
若在这样的二维世界里行走，不用绕过边界就可以走遍整个世界。若是用一支笔沿着边界涂色，不用提笔就可以涂遍整个边界，就是说它也是一个只有一条边界的曲面。
下面，就让我们来探寻它的神秘之处。
若在莫比乌斯环的中间画一条线，用剪刀沿着这条线剪开，将会得到什么呢？
实验结果：如果沿着莫比乌斯环中间剪开，和一般的纸带（会分成断开的两条环）不一样，会形成一个比原来的莫比乌斯环周长大一倍、把纸带的端头扭转了四次再粘合一起的环。
若在莫比乌斯环的三等分处画一条线，用剪刀沿着这条线剪开，将会得到什么呢？
实验结果：如果沿着莫比乌斯环三等分处剪开，剪刀绕两个圈竟又回到原出发点，这时会形成两条带子，其中一条和原来的周长一样长，另一条则比原来的莫比乌斯环周长大一倍，而且两条是套在一起的。
若在莫比乌斯环的四等分处画一条线，用剪刀沿着这条线剪开，将会得到什么呢？
实验结果：如果沿着莫比乌斯环四等分处剪开，这时会形成两条比原来的莫比乌斯环周长都大一倍的带子，而且两条是套在一起的。
若在莫比乌斯环的五等分处画一条线，用剪刀沿着这条线剪开，将会得到什么呢？
实验结果：如果沿着莫比乌斯环五等分处剪开，这时会形成三条带子，两条比原来的莫比乌斯环周长都大一倍的带子，另一条则和原来的周长一样长，而且三条套在一起。
由此规律，你能得出什么结论呢？
生活、艺术中的莫比乌斯环
莫比乌斯环看起来似乎不过是数学中意外发现的一个新奇玩具。其实，这个“怪圈”远非数学中的一个拓扑游戏，它更因其所具有的特性和内在意义，被大量运用于生活和艺术设计中。
● 莫比乌斯环传动带
普通传动带有两个面，只用到一面，而以莫比乌斯环做传动带，因它只有一面, 损耗较平均，从而可延长使用寿命，提高利用效率。
另外，针式打印机中的色带，为充分利用其表面，常被设计成莫比乌斯环。再如，音乐磁带中莫比乌斯圈的运用，可以加大磁带的信息承载量。
● 莫比乌斯圈过山车
“加强版”的云霄飞车，它的轨道被设计成一个莫比乌斯圈。乘客在轨道的两面上飞驰。相信，定然很刺激。
● 莫比乌斯环标志
莫比乌斯圈循环往复的几何特征，蕴含着永恒、无限的意义，因此常被用于各类标志设计。
微处理器厂商Power Architecture的商标就是一条莫比乌斯圈，Power Architecture技术是一个主流平台，被广泛应用于包括汽车控制、远程通讯、无线和有线基础架构、企业网络、服务器和数字家庭。
国际通用的循环再造标志就是一个绿色的、摆放成三角形的莫比乌斯带，如垃圾回收标志。
● 埃舍尔《莫比乌斯带》系列作品
在所有莫比乌斯环的艺术作品中，荷兰的图形艺术家M.C.埃舍尔（M. C. Escher，1898～1972）的《莫比乌斯带》系列最能表现莫比乌斯环的生动形象，同时也是最具震撼力的作品。
《莫比乌斯I》（Mobius I, 1963）
《骑士》（Horseman，木刻，1946）
《缠着魔带的立方体》（Cube with Magic Ribbons，1957）
《莫比乌斯带》
“埃舍尔不仅画各种莫比乌斯环，却并不拘泥于典型的莫比乌斯环。他将其与自己擅长的镶嵌画融合，探索各种可能，达到了形形色色的奇妙效果。”
如，《莫比乌斯II》（Mobius II, 1963）中生动形象地展示了莫比乌斯环的拓扑学性质。一只红蚂蚁无限地爬下去，不断地在里侧外侧徘徊，形象地展示了莫比乌斯环的一个面的特性。如此便将理解晦涩的理论所需的空间想象能力降低，使之更易被人所理解。
● 莫比乌斯环触发的各种设计创意
上海世博会的湖南馆“桃花源里·湘都”，主体建筑外观采用了双莫比乌斯环扣造型，外表用纸装饰，远观如一尊巨大的动态雕塑艺术品。整个环就像展开的卷轴，环体上的影像组成循环流动的彩带，时而全景演播，时而滚动变化，时而回归为纯净的留白，给人以更多静思与遐想的空间。
还有坐落在哈萨克斯坦共和国首都阿斯塔纳的哈萨克斯坦国家图书馆集现代特色和传统经典于一身，整个建筑呈向内“循环”的螺旋流线造型，简约而雅致。这样的建筑设计，可以在同样平面面积中通过不同角度的“空间扭曲”而让原有的空间在不同方向得以“延伸”，从而获得更多的可用空间。
又如，中国科技馆的展品之一“三叶扭结”，也是由“莫比乌斯环”演变而成的，是一条三棱柱带经过三次盘绕，将其中的一端旋转120ﾟ后首尾相接，构成三面连通的单侧单边的三叶扭结造型。三叶扭结虽是立体图形，但只有一个面，即单侧面。这蓝白相间的灯不停地闪烁，乍看是个漂亮的灯饰，但细瞧，它只有一面和一边，喻示着各种科学之间没有边界。
一年一度的英国古德伍德速度节上，为莲花汽车公司设计的雕塑，以类似莫比乌斯环的无限延伸空间向人们展示了汽车竞速的无限乐趣，无论是形体还是构思都让人无比震撼。
另外，中国“凤巢”的建筑造型取意于“莫比乌斯带”，借助莫比乌斯带的图解将高层办公区和媒体演播室融合起来，在满足全方位提供节目制作场地及其他配套服务设施的同时，形成了一个完整的空间和体量。
● 邮票上的莫比乌斯环
1982年，瑞典发行了“不可能的图形”系列邮票，其中有一枚邮票上是一个立体的“莫比乌斯圈”。这种莫比乌斯环在现实中是不可能存在的，意在引导人们关注科学，探索宇宙不解之谜。
● 史上最浪漫的结婚戒指
这枚莫比乌斯环婚戒标写着：“我会一直在你身边！”真是寓意深远！
● 影视、文学作品中的莫比乌斯环
以《爱丽丝漫游奇境》享誉文坛的路易斯·卡洛尔，恐怕是世界上最有数学情怀的童话作家。在他的故事中，少不了妙趣横生的数学谜题。其中“手绢中的宇宙”就是一个奥妙无穷的莫比乌斯环：怎样用两张方手绢，缝成一个没有里面与外面之分的“口袋”？——这个口袋由于两面相通，所以能够“装下全宇宙”。
由A.J.Deutsch创作的短篇小说《一个叫莫比乌斯的地铁站》为波士顿地铁站创造了一个新的行驶线路，整个线路按照莫比乌斯方式扭曲，走入这个线路的火车都消失不见。
《哆啦A梦》（赶走讨厌的客人）一集中，哆啦A梦有个道具的外观就是莫比乌斯带，在故事中，只要将这个环套在门把上，则外面的人进来之后，看到的仍然是外面。
还有，2015年上映的一部电影《前目的地》，整部电影的情节简直就是一个莫比乌斯环。整个故事你不知道哪里是起点，也不知道是从哪里结束。
● 密码——青铜
西班牙现代雕塑大师苏比拉克作品的“密码”由三部分组成：作品上部分的数字方格是“苏比拉克幻方”，方框内的16个数字横、竖、斜或分组相加均为33。33是耶稣死亡的年龄，也是耶稣复活的年龄！作品中间部分的“环带”就是“莫比乌斯带”，象征无限远的意义。同时又有魔幻和神秘之意义。作品下部分的织物皱褶则象征古希腊文明的艺术特点。
整个作品将组合数学与拓扑学等科学主题与雕塑艺术融合在一起，算是用艺术表现科学的杰出典范。