特殊函数、三角函数诱导公式、基本初等函数图像的性质 / 开普饭

首先，我们来看看几个特殊函数。

①常数函数

常值函数(constant function)指值域为一元集的函数，当它为数值函数时常以f(x)=c表示，这里的c都是constant(常数)的简写，常值函数是其值域仅含一个元素的函数。即对该函数定义域一切实数R中的一切X，都有f(x)=a，其中a是一个固定元素。

当c=0时，f(x)=0即是奇函数，又是偶函数。即关于原点对称，又关于y轴对称。

当c≠0时，f(x)=c是偶函数，关于y轴对称。

当c=2时，f(x)=2，其函数图像如图1所示：

如图1 f(x)=2的函数图像

②最简单的绝对值函数，函数表达式如下：

其图像如图2所示

图2 y=|x|的函数图像

由图像可知，绝对值|x|的定义域 x∈R，值域 y∈[0,+∞）函数图像是偶函数，关于y轴对称。函数y=|x|在（-∞,0]是单调递减，在[0,+∞）是单调递增。

③分段函数

绝对值函数也是分段函数的其中之一。

分段函数，就是对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。它是一个函数，而不是几个函数。

分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。

分段函数的应用非常广，例如：汽车按不同的路程收费、水电按用户使用的不同程度收费、收税情况等。

特殊函数很多，只考虑以上三种常见的函数。

接下来，我们来看看诱导公式。画象限角的角度方法口诀：“正逆负顺”，其含义是：如果是正角，从第一象限原点开始按逆时针画出相应的角度；如果是负角，从第四象限原点开始按顺时针画出相应的角度。

象限角函数为正的口诀：“一全二正弦三切四余弦”其含义是：第一象限的正弦值、余弦值、正切值、余切值都为正值；第二象限只有正弦为正值，其他函数值为负值；第三象限只有正切值和余切值为正值，其他函数值为负值；第四象限只有余弦函数为正值，其他函数值为负值。

诱导公式如下：

①先把a当成锐角，π+a是第三象限角。则有：

②先把a当成锐角，2kπ+a是第一象限角。则有：

③先把a当成锐角，π-a是第二象限角。则有：

④ 先把a当成锐角，-a是第四象限角。则有：

⑤先把a当成锐角，2kπ-a是第四象限角。则有：

⑥先把a当成锐角，π/2-a是第一象限角。则有：

⑦先把a当成锐角，π/2+a是第二象限角。则有：

总结，诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限。”中的“奇变偶不变”其含义是针对于π/2的倍数，π/2的奇数倍，函数名要变；π/2的偶数倍，函数名不变；“符号看象限”的含义是看该角是第几象限角，就按即象限角的正负来定。特别注意的是π/2的奇数倍时的正负是看原来的三角函数名的正负。

例如：

两角和与差的公式如下

两倍角公式如下：

半角公式如下：

最后，我们一起来来看看，几个基本初等函数及图像性质。

①幂函数

一般地，y=x^α（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。

例如函数y=x^0、y=x^1、y=x^2、y=x^-1（注：y=x^-1=1/x、y=x^0时x≠0）等都是幂函数。

当α为奇数时，函数y=x^α为奇函数；当α为偶数时，y=x^α为偶函数。当α为0时，y=x^0=1是常数函数；当α＜0时，函数y=x^α是分式函数；当0＜α＜1时，函数y=x^α是根式函数；当α=1时，y=x是正比例函数；当α=2时，y=x^2是二次函数。这些函数都有一个共同特点就是必过坐标（1,1）点。

②指数函数

一般地，y=a^x函数(a为常数且以a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是 R ,值域是（0，+∞）。注意，在指数函数的定义表达式中，在a^x前的系数必须是数1，自变量x必须在指数的位置上，且不能是x的其他表达式，否则，就不是指数函数。

如：