中考数学压轴题分析：赵爽弦图与勾股定理

本文内容选自2021年贵州中考数学压轴题。以赵爽弦图为背景，考查勾股定理的证明以及应用等，难度不大。

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【中考真题】

（2021·贵阳）（1）阅读理解
我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．
根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
（2）问题解决
勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形的中心，作，将它分成4份，所分成的四部分和以为边的正方形恰好能拼成以为边的正方形．若，，求的值；
（3）拓展探究
如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形的边长为定值，小正方形，，，的边长分别为，，，．
已知，当角变化时，探究与的关系式，并写出该关系式及解答过程与的关系式用含的式子表示）．

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【分析】

（1）勾股定理的证法主要是根据面积等量关系。先用正方形的面积公式得到正方形的面积为c²，再把正方形分割成5个部分，并把它们的面积加起来，再建立等量关系即可得到结论。难度不大。

（2）本题主要根据全等的性质，得到对应边的关系，解方程组得到结论。

（3）根据勾股定理与相似（三角）等可以得到b、c与n的等量关系。

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【答案】解：（1）（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方），证明如下：

如图①是由直角边长分别为，的四个全等的直角三角形与中间一个边长为的小正方形拼成的一个边长为的大正方形，
的面积正方形的面积正方形的面积，
即，
整理得：；
（2）由题意得：正方形被分成4个全等的四边形，

设，，
，
正方形是由正方形被分成的4个全等的四边形和正方形拼成，
，，，
，
，
，
解得：，
．
（3），理由如下：
如图③所示：
设正方形的边长为，正方形的边长为，
，，
△△，
，，
即，，
，，
在△中，由勾股定理得：，
，
．