大学数学（高数线代）直观理解（一）

数学算法俱乐部

日期 ： 2020年12月25日

正文共 ：2275字

作者 ： Genius

日前看到有个初中数学问题推到了我的Timeline上，问：系数为啥叫系数？

我脑洞炸裂灵感迭起，心情如电火花一般激灵四射，又为见到这么古老的问题痛哭流涕——想我有多久没有问过这种问题了，从小到大，问出来也得不到满意的解答吧。

那么现在我就从回答这个问题开始，谈谈直观理解《高等数学》《微积分》的相关知识。但必须提的是，直观是不严谨的，千万不要看了这篇文章后脑洞大开搞出什么数学民科来，那可就糟了。

系数，你可以认为这里是“万千变化系于一数”的用法。一个函数就是一个变化，这个变化系于此数，简称系数。又可以说，一个函数是一个对应关系，关系数，简称系数。

其实能问出“系数为什么叫系数”的人肯定也能问出“函数为什么叫函数”。后面这个问题其实更了不起，因为可以引出“泛函”的概念来，也许以后我会试着仔细写写这个。

1

y=2x，你告诉我，这个函数的变化快慢是由什么决定的？

没错，2.

那

呢？这里有两个x，每个x的变化的快慢都是由对方决定的，第一个x的变化快慢是x倍，第二个x的变化快慢是x倍，一共是？

2x倍。

呢？这里有三个x，每个x的变化快慢都是，所以总变化快慢是？

嗯…….

于是我们推出来两个规律：

的变化率就是它自己，要理解的话得花大篇幅解释e这个东西，在这里就不提了，反正记下来也挺简单的。

至于三角函数的变化率，你画个单位圆看看就能明白为什么sin的变化率就是cos，cos的变化率是-sin。如果不记得单位圆定义的……跳过。

2

有的时候我们会需要这样的情况：

，现在我问你，这个函数里，x的变化快慢被什么决定？

你很快可以得到答案，第一项有3个x，每个x的变化都是

，第二项里有两个x，每个x的变化都是2xy，所以总变化是

，同样的，我们其实也可以问，在这个函数里，y的变化快慢被什么决定？显然是

。然后函数总的变化快慢是多少呢？

写到这里莫名其妙就得出了偏导数和全微分公式。用

表示x的偏导数（变化率），

表示y的偏导数（变化率），在

处的全微分公式写做

。就是说这个函数的增量等于x的增量加y的增量。好吧，一个知识点就这么完了，是不是有种感觉什么也没说的感觉？没错你相信我，真的就只是造出了几个术语，搞出了几个符号，内容就是我们说的那样，那么的……废话。其实我一直不喜欢这种写法，但我没有发明符号的闲心了，就姑且这么用，反正听他们那些前辈说用多了还觉得挺美。

3

有的时候我们常常做这么一件事。那就是，一个量根据一个法则在变化， 从某处到某处这个量变了多少。

比如f(x)从a到b一直在连续变化，问从a到b一共变化了多少？

你也许会说，这不是废话么，用f(b)-f(a)不就求出来了吗？

那么恭喜你，你以一人之力，发明了牛顿莱布尼兹公式。

牛顿莱布尼兹公式是怎么说的？它说从a到b每一处的变化累积起来，就是f(b)-f(a)。

那由此还可以想到什么“废话”吗？

当然还可以，这种废话简直无穷无尽，比如。

u的变化使得v变化的量，加上v的变化使得u变化的量，不就是变化的u和v彼此使得对方变化的总量吗？很自然的有

我推出这个公式后的第二天，老师教了我们分部积分法。

我：……

4

至于无穷小量，极限，微元这些，我是不太想在文章里提的。一来我没有能力换一种完全不同的方式等价地表达出来，总觉得有这样那样的问题。二来我如果按书上的在这里写一遍，那我这篇文章还不如不写。那么问题来了，如果不谈极限，我们怎么讨论极限的相关知识？

伯努利说，对对对，你不讲极限，怎么跟别人讲我的法则？

这个法则现在我们叫洛必达法则，充分说明我们如果足够重视每一句废话，在严谨地证明后早早发表，很可能就能冠名一个东西。单单从直觉上来说，洛必达法则是在反着说这么一件事情，两个量从0开始变化的那一瞬间，速度的比例是多大，那么变化的比例就是多大。如果他们变得无穷大，亦同。我们对照着看一下：

如果

，在点a的某去心邻域内两者都可导，且

存在，那么有

。

翻译：如果两个变化在某处都趋向于0了，而这个时候他们是光滑地变化着（不是突兀地变化），那么在最后到0的前一瞬间，它们的比例就是他们速度的比例。

这种描述其实很原始，有点像牛顿时代的描述。从这个例子其实可以看出，极限的提出还是很重要的。

5

说起变化，我不由得就想起了我们小时候经常会思考的一个问题。

如果我们知道某一点的变化率，知道这一点变化率的变化率，又知道这一点变化率的变化率的变化率……那我们是否可以知道这个点经过一段时间后变到了多少？

换个表达，假设我们要知道x时的情况，但我们只知道时候的，然后我们还知道时候的变化，变化的变化……直到任意阶变化我们都知道，那么x的情况我们有理由不知道吗？

试试看好了，首先，已经有了

，这一点的变化率是f'(x0)，到x一共是变化了

，然而，f'(x)并不总是f'(x0)，它是在变的，在处变化率是f(x0)''，这个变化率使得f(x0)'一共变化了

，同样，f(x0)''也是变化的，f(x0)''一共变化了

。总的来说会写出这样的式子：

算一下，

，

……

这不就是泰勒公式么！

这个东西在写这篇文章的时候写着写着就写出来了，我看了看应该是没错，有错请尽快告知……这种写法你可以理解为泰勒公式的另一种形式。其实自己能推理出来的话，这个形式是很亲切而自然。

最后，为了能写出对大家更有帮助的文章，大家可以在评论区多留言给我提出意见和建议。