小议动点关联函数图像问题的处理策略

王  桥

动点关联函数图像问题,集中考察了整体思想、运动变化思想、函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、极端化思想、方程思想等,具有较强的综合性,很受全国各地命题者的青睐。

这类题目,常常作为压轴题出现。因此,我们在二轮复习时,在《冲刺十招》第8讲“搞定动态问题”将做专门的讲解。而作为秋季培优的《沙场秋点兵》,在北师版第2讲“特殊四边形中的动态问题”中,也选择了这么几道题目,也算给我们将来的专题学习埋下伏笔。我们先通过第2讲中的两道小题,积累下动点关联函数问题的处理策略。

例1、(2019 武威)如图①,在矩形ABCD中,ABAD,对角线ACBD相交于点O,动点P由点A出发,沿ABBCCD向点D运动.设点P的运动路程为x,△AOP的面积为yyx的函数关系图象如图②所示,则AD边的长为(  )

A.3 B.4  C.5  D.6

——选自《沙场秋点兵》(北师版)第2讲“特殊四边形中的动态问题”

【分析】第一步:认真读题,理解题意,发散思维,初挖条件

通过读题,我们发现有这么几个关键信息

(1)由图①中,四边形ABCD是矩形,对角线的交点为O——根据矩形的性质,我们可以挖掘出对角线AC和BD相等且互相平分;图中有四个全等的直角三角形:Rt△ABC、Rt△BCD、Rt△CDA、Rt△DAB;以及四个等腰三角形:△AOB、△BOC、△COD、△AOD;

(2)点P在从点A运动到点D的过程中:P的路程长x在逐渐增大;△AOP的形状在随着点P的运动而改变,则其面积y也随着x的变化而变化——据此,我们既要考虑需要分类讨论,又要意识到y和x之间存在一定的函数关系;

(3)由x和y之间的函数图像——由图②知:y与x之间是一个“分段函数”;且△AOP的面积的最大值为3

(4)继续看图②知,这个分段函数有两个“拐点”,第一个“拐点”的横坐标不知道,但对应着函数值的最大值3;第二个“拐点”的坐标为(7,0);

第二步:步步为营,整体分析,重点对待,各个击破

(1)图①中点P从点A运动到点B,对应着图②中“分段函数”的第一段——正比例函数。函数值从0增大到3,分别对应着点P和A重合时,AP=x=0,△AOP的面积y为0;当P运动到和点B重合时,△AOP的面积y的最大值为3,即△AOB的面积为3;

(2)图①中点P从点B运动到点C,对应着图②中“分段函数”的第二段——一次函数函数值从3减少到0。即点P和B重合时,△AOP的面积y等于△AOB的面积为3;当P运动到和C重合时,此时A、O、P在一条直线上,△AOP的面积y为0;

(3)我们看到图②中,第二个“拐点”的横坐标为7,即点A经过点B到C走的总路程为7。

第三步:构造方程,大功告成!

我们不妨设AB=m,AD=n。由于S矩形ABCD=4S△AOB=12。依题意得:

易求得m=3,n=4。

即AD的长为4,选B。

例2、(2021衡阳)如图1,菱形ABCD的对角线ACBD相交于点OPQ两点同时从O点出发,以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动.点P的运动路线为OADO,点Q的运动路线为OCBO.设运动的时间为x秒,PQ间的距离为y厘米,yx的函数关系的图象大致如图2所示,当点PAD段上运动且PQ两点间的距离最短时,PQ两点的运动路程之和为      厘米.

【分析】第一步:认真读题,理解题意,发散思维,初挖条件

通过读题,我们发现有这么几个关键信息:

(1)由图①中,四边形ABCD是菱形,对角线的交点为O——根据菱形的性质,我们可以挖掘出:AB=BC=CD=DA;对角线AC和BD互相垂直平分且平分一组对角;图中有四个全等的直角三角形:Rt△AOB、Rt△BOC、Rt△COD、Rt△DOA;以及四个等腰三角形:△ABD、△ABC、△BCD、△ADC;

(2)由于点P和点Q的运动速度相同,运动路径方向相反,则点P在从点O运动到点A的过程中,点Q从点O运动到点C;点P在从点A运动到点D的过程中,点Q从点C运动到点B;点P在从点D运动到点O的过程中,点Q从点B运动到点O;

(3)但是PQ之间的距离y一直随着P、Q运动的时间x在变化啊!——貌似又是个函数关系——据此,我们既要考虑需要分类讨论,又要意识到y和x之间存在一定的函数关系;

(4)这个函数就是②。根据整体思想,结合图②,由x和y之间的函数图像知:y与x之间是一个“分段函数”;且PQ的最大值为23

(5)第二个“拐点”是咱还没有学习过“二次函数”的最低点——即点P在AD上运动,点Q在CB上运动,PQ的长是时间x的二次函数(欲知后事如何,且听下回分解......);

(6)从第三个“拐点”开始(P点从点D运动到点O,Q点从点B运动到点O)开始,PQ的长从最大值2减小到最小值0——此过程中PQ之间的距离一直在减小,y和x是一次函数(这个不超标);

第二步:步步为营,整体分析,重点对待,各个击破

(1)从特殊位置着手:PQ的最大值为23即AC=2√3,即AO=CO=√3;

(2)从特殊位置着手:第三个“拐点”(应该是P和点D重合同时Q和B重合)时,PQ的距离为2,即BD=2,则OB=OD=1;结合(1)和(2)(整体策略),∠DAO=∠BAO=∠DCO=∠BCO=30°(此处是否超进度、超标、超纲有待论证);

第三步:执果索因,逆向思维

(1)题目要求“当点PAD段上运动且PQ两点间的距离最短时,PQ两点的运动路程之和” ,显然要先把PQ最短的位置确定下来(又是极端化思想——特殊位置)

(2)浪费了好多脑细胞,二次函数的最小值暂时还不会求。但抓住特殊位置不放,首先可以确定PQ两点距离最短时,必为PQ分别垂直于AD和BC时(垂线段最短!);

(3)如图,此时,首先求出OP=OQ=√3/2(先自我惩罚下:角三角函数和相似或射影定理肯定是超标了,但是面积法和勾股定理不超标啊——被贴个超标的标签不好受啊......反正我是用面积或勾股定理求的,先不超标再说);

(4)此时,PQ两点运动的路程之和为:

OA+AP+OC+CQ=2(AO+AP)=2(√3+3/2)=2√3+3。

说明:

1、由于自己尚属几何画板菜鸟,尚不会用几何画板动态展示这类题目的分析过程;

2、换一个角度:考场上学生是不能用几何画板的!更希望我们老师要站在学生的角度去分析思考问题(也算为自己的偷懒找个借口吧),并帮助他们逐渐建立起解决这类题目的方法策略。;

3、《沙场秋点兵》为配合九年级秋季培优设计,互相学习,自愿交流,本周日上午10:00——12:00继续《沙场秋点兵》(北师版)公益讲座第二期:https://m.weishi100.com/mweb/single/?id=7402866

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