小议动点关联函数图像问题的处理策略
王 桥
动点关联函数图像问题，集中考察了整体思想、运动变化思想、函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、极端化思想、方程思想等，具有较强的综合性，很受全国各地命题者的青睐。
这类题目，常常作为压轴题出现。因此，我们在二轮复习时，在《冲刺十招》第8讲“搞定动态问题”将做专门的讲解。而作为秋季培优的《沙场秋点兵》，在北师版第2讲“特殊四边形中的动态问题”中，也选择了这么几道题目，也算给我们将来的专题学习埋下伏笔。我们先通过第2讲中的两道小题，积累下动点关联函数问题的处理策略。
例1、（2019 武威）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
——选自《沙场秋点兵》（北师版）第2讲“特殊四边形中的动态问题”
【分析】第一步：认真读题，理解题意，发散思维，初挖条件
通过读题，我们发现有这么几个关键信息：
（1）由图①中，四边形ABCD是矩形，对角线的交点为O——根据矩形的性质，我们可以挖掘出对角线AC和BD相等且互相平分；图中有四个全等的直角三角形：Rt△ABC、Rt△BCD、Rt△CDA、Rt△DAB；以及四个等腰三角形：△AOB、△BOC、△COD、△AOD；
（2）点P在从点A运动到点D的过程中：P的路程长x在逐渐增大；△AOP的形状在随着点P的运动而改变，则其面积y也随着x的变化而变化——据此，我们既要考虑需要分类讨论，又要意识到y和x之间存在一定的函数关系；
（3）由x和y之间的函数图像——由图②知：y与x之间是一个“分段函数”；且△AOP的面积的最大值为3；
（4）继续看图②知，这个分段函数有两个“拐点”，第一个“拐点”的横坐标不知道，但对应着函数值的最大值3；第二个“拐点”的坐标为（7，0）；
第二步：步步为营，整体分析，重点对待，各个击破
（1）图①中点P从点A运动到点B，对应着图②中“分段函数”的第一段——正比例函数。函数值从0增大到3，分别对应着点P和A重合时，AP=x=0，△AOP的面积y为0；当P运动到和点B重合时，△AOP的面积y的最大值为3，即△AOB的面积为3；
（2）图①中点P从点B运动到点C，对应着图②中“分段函数”的第二段——一次函数，函数值从3减少到0。即点P和B重合时，△AOP的面积y等于△AOB的面积为3；当P运动到和C重合时，此时A、O、P在一条直线上，△AOP的面积y为0；
（3）我们看到图②中，第二个“拐点”的横坐标为7，即点A经过点B到C走的总路程为7。
第三步：构造方程，大功告成！
我们不妨设AB=m，AD=n。由于S矩形ABCD=4S△AOB=12。依题意得：
易求得m=3，n=4。
即AD的长为4，选B。
例2、（2021衡阳）如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为O﹣A﹣D﹣O，点Q的运动路线为O﹣C﹣B﹣O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为 厘米．
【分析】第一步：认真读题，理解题意，发散思维，初挖条件
通过读题，我们发现有这么几个关键信息：
（1）由图①中，四边形ABCD是菱形，对角线的交点为O——根据菱形的性质，我们可以挖掘出：AB=BC=CD=DA；对角线AC和BD互相垂直平分且平分一组对角；图中有四个全等的直角三角形：Rt△AOB、Rt△BOC、Rt△COD、Rt△DOA；以及四个等腰三角形：△ABD、△ABC、△BCD、△ADC；
（2）由于点P和点Q的运动速度相同，运动路径方向相反，则点P在从点O运动到点A的过程中，点Q从点O运动到点C；点P在从点A运动到点D的过程中，点Q从点C运动到点B；点P在从点D运动到点O的过程中，点Q从点B运动到点O；
（3）但是PQ之间的距离y一直随着P、Q运动的时间x在变化啊！——貌似又是个函数关系——据此，我们既要考虑需要分类讨论，又要意识到y和x之间存在一定的函数关系；
（4）这个函数就是②。根据整体思想，结合图②，由x和y之间的函数图像知：y与x之间是一个“分段函数”；且PQ的最大值为2√3；
（5）第二个“拐点”是咱还没有学习过的“二次函数”的最低点——即点P在AD上运动，点Q在CB上运动，PQ的长是时间x的二次函数（欲知后事如何，且听下回分解......）；
（6）从第三个“拐点”开始（P点从点D运动到点O，Q点从点B运动到点O）开始，PQ的长从最大值2减小到最小值0——此过程中PQ之间的距离一直在减小，y和x是一次函数（这个不超标）；
第二步：步步为营，整体分析，重点对待，各个击破
（1）从特殊位置着手：PQ的最大值为2√3即AC=2√3，即AO=CO=√3；
（2）从特殊位置着手：第三个“拐点”（应该是P和点D重合同时Q和B重合）时，PQ的距离为2，即BD=2，则OB=OD=1；结合（1）和（2）（整体策略），∠DAO=∠BAO=∠DCO=∠BCO=30°（此处是否超进度、超标、超纲有待论证）；
第三步：执果索因，逆向思维
（1）题目要求“当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和” ，显然要先把PQ最短的位置确定下来（又是极端化思想——特殊位置）；
（2）浪费了好多脑细胞，二次函数的最小值暂时还不会求。但抓住特殊位置不放，首先可以确定PQ两点距离最短时，必为PQ分别垂直于AD和BC时（垂线段最短！）；
（3）如图，此时，首先求出OP=OQ=√3/2（先自我惩罚下：锐角三角函数和相似或射影定理肯定是超标了，但是面积法和勾股定理不超标啊——被贴个超标的标签不好受啊......反正我是用面积或勾股定理求的，先不超标再说）；
（4）此时，PQ两点运动的路程之和为：
OA+AP+OC+CQ=2（AO+AP）=2（√3+3/2）=2√3+3。
说明：
1、由于自己尚属几何画板菜鸟，尚不会用几何画板动态展示这类题目的分析过程；
2、换一个角度：考场上学生是不能用几何画板的！更希望我们老师要站在学生的角度去分析思考问题（也算为自己的偷懒找个借口吧），并帮助他们逐渐建立起解决这类题目的方法策略。；
3、《沙场秋点兵》为配合九年级秋季培优设计，互相学习，自愿交流，本周日上午10:00——12:00继续《沙场秋点兵》（北师版）公益讲座第二期：https://m.weishi100.com/mweb/single/?id=7402866
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3、《十招》来了！
11、“十招”中没有收录的招术 ——从一道小题再看和“建模法”“面积法”
12、小议面积与面积法
16、说不完的勾股，道不尽的弦图（2）——妙用勾股定理第5讲（构造内弦图）
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