征文 | 欧式几何如初恋般美好

本文参与遇见数学＃数学蒲公英＃第一次征文活动，作者杨海涛。★ 提示: 如果文中数字/公式显示较大, 请点击右上角中"刷新"即可恢复正常.

高一时外出听数学讲座，老师在讲课之前，问了我们一个问题：“你觉得在平面几何中，什么定理最让你觉得神奇？”。下面有说帕普斯定理，有说笛沙格定理，当然毕达哥拉斯定理（即勾股定理）的呼声也相当高。而老师告诉我们，在他心中，正是那些最简单的事实让他觉得最神奇，比如三角形的五心，他几乎以一种小孩子的语气发问，“为什么三角形的三条角平分线会交于一点？为什么三条中线会交于一点？”

那时我突然意识到，使欧式几何有趣的是，定理本身的简洁，普适和纯粹。

无论你在纸上画出怎样形状各异的三角形，它们的内角和总是180度。

它就像为柏拉图的理念论作注，自然界也许没有完美的圆，但在我们心中，圆就理应是那样的事物，平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的集合。

关于简洁美，数学家也不总是“成功”。欧几里得的《几何原本》数千年来被奉为经典，其中的五大公设叙述如下：
1. 过相异两点，能作且只能作一条直线（直线公理）。
2. 一条有限线段可以继续延长。
3. 以任意点为心及任意的距离可以画圆（圆公理）。
4. 凡直角都彼此相等（角公理）。
5. 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。

前四个都很好理解，而第五个公设啰嗦且复杂。从欧几里德提出这个公理之后的大约2100年的时间里，数学家一直对第五公设耿耿于怀，想把这个公设从这个体系中去掉，但是几经努力而无果。之后对于第五公设的否定发展了非欧几何，不过这已是后话。

欧式几何并非唯一描述世界的方式，这有时会让人沮丧，不像代数那般占有绝对的位置，但在我心中，欧式几何的定理都太过美妙。

于我而言，数学的正确与否当然至关重要，而让那么多人热爱的原因是，数学有趣且无比美丽。

我第一次真正爱上平面几何是因为拿破仑定理：

在任意三角形的各边向外（内）作，则它们的中心构成一个正三角形。

相传就是那个功绩显赫的拿破仑提出并证明的。而这个问题当时困住了我整整一天，当我终于用四点共圆的方法证明出来时，我感到了无与伦比的喜悦。

之后，我在几何画板上画出，然后拖动最初的三角形，看着拿破仑定理总是成立，尽管那时我已经证明出来了，可我还是被深深震撼。

拿破仑定理有推广，凡·奥贝尔定理是其四边形下的情形：

任意一个四边形，在其边外侧构造一个正方形。将相对的正方形的中心连起，得出两条线段。线段的长度相等且互相垂直（凡·奥贝尔定理适用于凹凸四边形）。

有兴趣的朋友可以试着来证明一下，思路如下（如果想独自尝试，请暂时不要点击查看提示）

提示

点击下方空白处滑动查看提示

试着证明图中阴影部分的两个小三角形全等, M为BD中点

学习欧式几何的旅程中，有过很多沮丧，有很多定理自己没有独立证明出来（实属正常）。但更多的是开心，意识到自己可以像小朋友画画那样去思考，去写证明，去学习和创造。我乐在其中。

很喜欢丘成桐先生的一句话，以此作结，“音乐的美由耳朵来感受，几何的美由眼睛来感受。”我很庆幸我拥有那样的眼睛。