什么是希尔伯特问题？他提出的23个问题，进展如何？
希尔伯特（Hilbert D.,1862.1.23～1943.2.14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。被后人称为“数学世界的亚历山大”。他对数学的贡献是巨大的和多方面的，研究领域涉及代数不变式，代数数域，几何基础，变分法，积分方程，无穷维空间，物理学和数学基础等。他在1899年出版的《几何基础》成为近代公理化方法的代表作，且由此推动形成了“数学公理化学派”。希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称为“数学界的无冕之王”，他是天才中的天才。
1900年8月8日，在巴黎第二届国际数学家大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这23个问题统称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用。
1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。
下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况：
连续统假设
（1963年由美国数学家科亨解决）
1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--弗伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。
算术公理的相容性
（未解决，最好成绩是1936年德国人根茨创造的）
欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。
1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。
两个等底等高四面体的体积相等问题
（1900年美国数学家马克思·德恩已解决）
问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。
两点间以直线为距离最短线问题
（未解决，最好成绩1973年前苏联数学家波格列洛夫）
此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。
注：《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，数学界在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。
连续群的解析性
（1952年美国数学家格利森、蒙哥马利、齐宾已解决）
一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的 这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯·诺伊曼（1933，对紧群情形）、庞德里亚金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。
在任意数域中证明最一般的互反律
（1921年日本数学家高木贞治和1927年德国数学家阿廷已解决）
该问题已由日本数学家高木贞治（1921）和德国数学家E.阿廷（1927）解决。
丢番图方程的可解性
（1970年前苏联数学家IO.B.马季亚谢维奇证明该问题错误）
能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解。希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？1970年，苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在。
证明某类完备函数系的有限性
（1958年日本数学家永田雅宜证明错误）
这和代数不变量问题有关。1958年，日本数学家永田雅宜给出了反例。
半正定形式的平方和表示
（1927年德国数学家阿廷已解决）
一个实系数n元多项式对一切数组(x1,x2,...,xn) 都恒大于或等于0，是否都能写成平方和的形式？1927年阿廷证明这是对的。
给定单值群微分方程解的存在性证明
（1905年德国人希尔伯特和1957年美国人罗尔已解决）
具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明已由希尔伯特本人（1905）和H.罗尔（1957）的工作解决。
实数可以分为有理数和无理数两类,或代数数和超越数
某些数的无理性与超越性
（解决一半，1934年A.O.盖尔方德和T.施奈德解决后半部分）
1934年，A.O.盖尔方德和T.施奈德各自独立地解决了问题的后半部分，即对于任意代数数α≠0 ，1，和任意代数无理数β证明了α^β 的超越性。
素数问题
（未完全解决，2018年9月美国人迈克尔·阿蒂亚宣布证明黎曼猜想，实际并未证明。哥德巴赫猜想最好成绩属于1966年的中国数学家陈景润，孪生素数猜想的最好成绩属于2013年的中国数学家张益唐）
包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。2018年9月，美国人迈克尔·阿蒂亚宣布他证明了黎曼猜想。哥德巴赫猜想的最佳结果属于中国数学家陈景润（1966），但离最终解决尚有距离。孪生素数问题的最佳结果属于另一位中国数学家张益唐。2013年5月，他证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，发现存在无穷多差小于7000万的素数对，从而在孪生素数猜想这个此前没有数学家能实质推动的著名问题的道路上迈出了革命性的一大步。这一差值已被缩小至246。
系数为任意代数数的二次型
（未解决，最好成绩属于1929年H.哈塞和1936、1951年C.L.西格尔）
H.哈塞（1929）和C.L.西格尔（1936，1951）在这个问题上获得重要结果。
用只有两个变数的函数解一般的七次方程
（未解决，最好成绩属于1964年的维士斯金）
七次方程的根依赖于3个参数a、b、c，即x=x （a，b，c）。这个函数能否用二元函数表示出来？苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（1957），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）。但如果要求是解析函数，则问题尚未解决。
用全等多面体构造空间
12个由全等等边三角形组成的多面体,包括一些凹面体.
（未解决，最好成绩属于1928年莱因哈特）
由德国数学家比勃马赫（1910）、莱因哈特（1928）作出部分解决。
正则变分问题的解是否一定解析
（未解决）
对这一问题的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果。
代数曲线和代数曲线面的拓扑问题
（未解决）
这个问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部分要求讨论 的极限环的最大个数和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式.苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明了n=2时极限环的个数不超过3，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例（1979）。
物理学的公理化（未解决）
希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑。
将克罗克定理推广到任意的代数有理域上去
（未解决）
将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去 这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很远。
舒伯特计数演算的严格基础
（未解决）
一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。已有了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。
电磁场边值问题的解法
一般边值问题
（未解决）
这一问题进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支。还在继续研究。
由自守函数构成的解析函数的单值化
（未解决，最好成绩属于1907年克伯）
它涉及艰辛的黎曼曲面论，1907年P.克伯获重要突破，其他方面尚未解决。
变分法的进一步发展出（未解决）
变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它分辨不出找到的是最大值还是最小值（或者两者都不是）。
欧拉-拉格朗日方程 (Euler-Lagrange equation) 简称E-L方程
变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。最优控制的理论是变分法的一个推广。
同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为Plateau问题。
变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，是处理函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。它最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。变分法起源于一些具体的物理学问题，最终由数学家研究解决。这并不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法。20世纪以来变分法有了很大的发展。
由于希尔伯特个人巨大的影响，使得许多数学家研究他的问题，很大程度上促进了数学的发展。还有些问题至今没有解决，最有名的当然是黎曼猜想，这都成为了人们殚心竭虑的焦点。二十世纪依然有很多重要的问题，比如Weil猜想，或多或少它们的提出都受希尔伯特问题的影响，这才是希尔伯特提出问题的最大贡献。