线性代数：05 实对称矩阵与二次型

本讲义是自己上课所用幻灯片，里面没有详细的推导过程（笔者板书推导）只以大纲的方式来展示课上的内容，以方便大家下来复习。

本章是特征值与特征向量知识的延续，根据谱定理可知实对称矩阵可以正交对角化，对角阵为其特征值，正交矩阵为其两两正交的单位特征向量。除此之外，还介绍了二次型，标准形，规范形的知识。二次型的化简问题是本章的核心，我们即可以通过配方法做可逆变换化二次型为标准形，又可以通过正交法做正交变换化二次型为标准形，还可以通过合同法做合同变换化二次型为标准形。由于二次型的标准形不唯一，所以我们去寻找这些标准形的共性，得到了惯性指数、正惯性指数、负惯性指数这些概念，以及惯性定理，发现规范形是唯一的。最后介绍了最特殊的二次型，即正定二次型，其对应的矩阵为正定矩阵。以及正定矩阵的判定定理。本章相对前一章就简单很多了，希望大家好好复习，把基本概念和方法搞明白。

推荐两个学习线性代数的资源：

「1. 麻省理工公开课 Linear Algebra」

• https://www.bilibili.com/video/av15463995/
• 相较于国内老师从行列式入手，MIT老师从几何空间的角度，更加直观揭示线代的内核。

「2. 线性代数的本质」

• https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E
• 通过直观的动画演示来理解线性代数的大部分核心概念。