數學培訓班（5）——殺雞真要用牛刀

本篇是本系列計劃外臨時增加的。

前文《數學培訓班（4）》發出後，不少人對究竟如何做文中的題目產生了濃厚興趣。雖然有點出乎我的意料，但也可以理解：堂堂一個成年人，連一道小學數學題都搞不定...

   有人說：韓教授知識保護意識太強，也不寫出來...

   還真不是。

   言簡意賅是我的行文風格，這是一方面。

   另一方面，如果看完文（4）後還對怎麼解那道題感興趣，恕我直言，您的數學素養還有提升空間。

   看來，普及數學思維任重道遠啊！不論對小孩，還是大人。

   此話怎講？   

   今天這個額外篇來給各位稍微詳細解釋一下個中的思考。

   來看那道題：

   我們來分析一下出題者的意圖：

                 

         

因為這道題是五年級的單元測試題，而該單元的內容是分數的加減法，也就是通分運算，所以，出題者的意圖明顯是想讓學生通過分數運算得出結論：

                                         

  

從而給出題目的解：

 

   但只要稍微具備一點基本數學素養的中學生都應該知道，(2)可推出(1)但(1)推不出(2)。說得專業一點：(1)是(2)的必要條件而非充分條件。

   出題者目的在於考驗孩子的通分運算能力，但卻讓孩子混淆了充分條件與必要條件這兩個基本數學概念。從數學思維上講得不償失。這樣的題，做得越多，數學素養越差。

   文（4）中我說的老師課堂上講的方法不妥正在於此。

   所以說，出題者的數學思維有問題。

   更要命的是，我很快就找到了說明(1)跟(2)不相同的反例： 

      

按照上面的邏輯，豈不是 

 

   一道數學題找出了兩個答案，只能說題目出得很失敗！

   現在您就能理解我前面說的：看完文（4），應該不會再去做這道題了。至少我是不想去做一道失敗的題。

  當然，如果數學水平高，還是可以把這道題改成比較複雜的數學問題（譬如：除了上述兩種解，再無其他解）。專業術語叫不定方程（丟番圖方程）。不過，這早就超出了小學生乃至中學生的學習範圍。

   

   做數學題，我大致分為三個層面：

• 1、知其然（會做）；
• 2、知其所以然（會舉一反三）；
• 3、清楚出題者的意圖，甚至可以改題目乃至出新題。

   當年的我做數學題，基本都以層面3為目標。學霸，就是這樣煉成的。

   如果只在層面1，那做再多題，充其量也就是個做題機器。

   要想成為好的數學老師，至少要能達到層面2。

   在我任教的大學，掛科人數最多的科目非大學數學類課程莫屬。譬如《微積分》。身為學校數學教學的負責人，我感受到壓力。但是，這不全是大學老師的責任。

   究其原因，主要還是應試教育的後果。中小學缺乏數學思維的培養，而只顧做題。大學生們的數學素養先天不足！

   我認為，一個好的老師，在課堂上給學生講出來的往往只是冰山一角。本系列文章寫的這麼多，我在培訓班上基本都沒怎麼跟孩子們講。所以我才說，那些孩子噓我，實在是自以為是，甚至可以說不知天高地厚...

   有人冷言道：理論有了，期待實際效果...

   不瞞您說，這二三十年，我在中國以及國外輔導過的小學生、初中生、高中生乃至高考生不在少數（可參見《九九表》）。效果嘛，你懂的。

   再者說了，看完本篇，您覺得我用牛刀殺雞會沒效果？