量子比特：一只又死又活、不死不活的薛定谔猫丨众妙之门

量子比特是量子信息的基本单元，是量子通讯量子计算中的主角。它的量子性质造就了量子通讯和量子计算的神奇。有人甚至认为量子比特是组成世间万物的基本构件。可量子比特到底是个什么东西？它到底神奇在什么地方？

撰文 | 文小刚（麻省理工学院终身教授、格林讲席教授）

量子力学是一个很诡异的理论，即使是专家都不敢说懂。量子论的一个创始人玻尔（Niels Bohr）说过：“如果谁不为量子论而感到困惑，那他就是没有理解量子论。”大物理学家费曼也说：“我想我可以有把握地讲，没有人懂量子力学！ ”

奥妙神奇的量子世界

量子力学为什么这么诡异？因为量子力学告诉我们“存在”这一理解世界的根本概念，并不是像我们想象的那么简单。我们知道物理的研究对象是世界上各种各样的存在。到底什么是“存在”？我们每个人都觉得自己知道这个简单的概念。但我们头脑中固有的这个“存在”的观念，其实是一个经典观念。这个经典存在观念，是在我们对宏观世界的观测中总结抽象出来的。但是，在研究观测微观世界时，我们发现这个经典的存在观念，和微观世界的实验观察完全不吻合。我们必须重新反思，在我们这个世界中“存在”到底是一个什么东西？是一个什么概念？我们发现，我们必须引入一个新概念：量子存在，来描写我们世界中的真实存在。这就是量子力学给我们带来的根本性的革命——它彻底了改变了我们的世界观。在历史上所有的物理革命中，量子革命是最具有颠覆性的，最令人不可思议的，也是物理学家最不情愿的。它是被实验逼出来的。到现在还有很多物理学家、对量子力学的基本理论感到别扭和不满。

不存在的经典存在和存在的量子存在

如果经典存在不存在（也就是说我们熟悉的经典存在这个概念并不适用于我们的世界），那么存在的量子存在到底是个什么东西？总结各种微观世界的实验观测，我们发现量子存在有下面这项基本性质：

以薛定谔的猫为例：如果活猫是一个允许的存在，死猫也是一个允许的存在，那么活猫+死猫也是一个允许的存在。当你观测处于这一状态的猫时，有时发现它是活的，有时发现它是死的，也搞不清楚它到底是活的还是死的。更加抽象地讲，如果状态A是一个允许的存在，状态B是一个允许的存在，那么一定有一个亦A亦B非A非B的状态，我们称之为状态A+状态B，也是一个允许的存在。这就是有名的量子叠加原理。它是量子力学中一切“诡异”的根源。状态A+状态B这个奇怪的存在、被叫做状态A和状态B的叠加态。在量子力学中我们通常把状态A、状态B标记为|A〉、|B〉。这样状态A和状态B的叠加态就被标记为|A〉+|B〉。

活猫+死猫也是一个允许的存在？！这怎么可能呢？如果你真的相信这一胡说八道，那么我问你活猫+死猫到底是一个怎样的存在？它到底是活猫还是死猫？这的确是不可思议的。但我们的世界真的是这么一个不可思议的神奇世界。这只不死不活、又死又活的薛定谔猫的确是一个可能的允许的存在（见图1）。它还有一个数学符号

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图1：对不死不活又死又活的薛定谔猫的艺术描写

上面讲的这个不可思议的量子存在、才是我们世界中的真实存在。我们脑子里固有的那个经典存在的概念，并不反映我们世界中的真实存在。对存在的这一新认知，是被实验逼出来的。正像所有其它物理理论一样，它们都是从实验观察中总结抽象出来的。下面我来解释一下，到底是什么样的实验逼出了这个量子存在的新认知？

连续的经典量和离散的量子量

我们这个实验是一个用电子束作的实验。我们知道一个电子像一个可以旋转的小球。一个电子的状态不仅由它的位置和速度来描写，而且还由它的旋转状态来描写。一个电子的旋转状态，可以用一个有方向的箭头来描写。箭头的长短对应于旋转的快慢，而箭头的方向则对应于旋转轴的方向。这个描写电子自转的箭头，我们叫做电子的自旋。如果我们有一束电子，电子的自转方向可以是随机的，那自旋就对应于一堆指向不同方向的箭头。

图2：一个电子的自旋可以用一个箭头来表示。第一个自旋有正的竖分量和正的横分量。第二个自旋有负的竖分量和正的横分量。一束电子内不同的电子会带有不同的自旋，其可用不同的箭头来描写。

我们可以利用一个叫做自旋测量仪的仪器来测量自旋在横、竖或者其他任何方向的分量。比如当一束电子通过一个竖向自旋测量仪时，电子束的运动方向会发生偏转，而偏转的角度正比于自旋在竖方向的分量。自旋竖分量是电子的一个性质。为了以后叙述方便我们把竖分量这一性质叫做电子的“颜色”。竖向自旋测量仪也可以叫做“颜色”测量仪。

当一束电子通过一个横向自旋测量仪时，我们也可以利用电子束的偏转，测量自旋的横向分量。类似地，我们把横分量这一性质叫做电子的“硬度”。横向自旋测量仪也可以叫做“硬度”测量仪。

当我们用一台“颜色”测量仪测量一束电子时，我们会得到什么结果？根据电子自旋的经典图像，我们看到自旋的竖分量可正可负，可大可小。所以我们预计，当测量电子“颜色”（自旋竖分量）时，我们会得到一个连续的分布，如图3所示。

图3：测量自旋竖分量（“颜色”）的经典预期是一个连续的分布

可当物理学家真的测量这些电子的自旋时，我们发现电子束仅仅劈裂为两束（见图4）。这意味着电子只有两种“颜色”，我们称之为红和蓝（也就是自旋的竖分量仅仅有正负两个固定值，对应于自旋向上和自旋向下）。

这一结果犹如晴天霹雳，让物理学家目瞪口呆。我们一直认为电子自转轴可以连续地指向任何方向，电子自旋的竖分量也可以在一个范围内连续的取值（也就是应该有个连续的“颜色”谱，像彩虹一样）。可实验结果颠覆了这一简单的、似乎不可能错的预期。实验告诉我们，自旋的竖分量只能取一些离散的值。这一经典图像中期待的连续量在实际中只能取离散的值的现象，被称之为量子现象。它反映了我们世界的量子本质，也是量子力学名称的来源。

图4：测量“颜色”（自旋数竖分量）的实际结果：只看到两个离散的值，红和蓝。测量“硬度”（自旋数横分量）的实际结果也是只看到两个离散的值，软和硬。

四个态还是两个态

根据经典图像，电子的自转可以有无穷多个状态，对应于自旋的各种不同方向的指向。可实际上当电子束通过“颜色”测量仪时，仅仅分裂为两束。这好像说明电子只有两个状态：红和蓝。其实“颜色”测量仪仅仅测量了电子的“颜色”（自旋竖分量），它只说明了电子“颜色”只有两个可能的取值。但电子还有“硬度”这个性质（自旋横分量），“硬度”的不同取值也能给出电子的不同态。

为了探索“硬度”这个性质，我们可以测量电子的“硬度”（见图4）。这又和经典的预期完全不同：当我们测量这些电子的“硬度”（自旋横分量）时，我们发现电子束也仅仅劈裂为两束（见图4）。这意味着电子只有两种“硬度”，我们称之为软和硬（也就是自旋的横分量也仅仅有正负两个固定值，对应于自旋向左和自旋向右）。

这样“颜色”可以取两个值，“硬度”可以取两个值。那么电子就应该有（至少）四种状态，根据“颜色”和“硬度”各自的两种可能的取值 ，我们可以用下面的记号来标记这4个自旋态：|红软〉，|蓝软〉，|红硬〉，|蓝硬〉（见图5）。

图5：电子自旋四种状态的一个图像表示。（这是一个错误的图像。）

如果我们先测量电子的“颜色”，然后再测量电子的“硬度”，我们就可以测出这两种性质，把 |红软〉，|蓝软〉，|红硬〉，|蓝硬〉这四种电子完全分开（见图6）。

图6：测量电子的“颜色”之后，再接着测量电子的“硬度”，这样把一束电子分成四束，好像说电子（至少）有四个不同状态。

可是这个简单的推论又是错的。当我们测量完“颜色”和“硬度”之后，如果我们再次测量 |红软〉这束又红又软的电子的“颜色”时，自然而然，我们应当只得到红色的电子（见图7）。

图7：先测量电子的“颜色”，接着测量电子的“硬度”，最后再测量电子的“颜色”。我们预期会得到这样的结果。

然而，真做这个实验的时候，我们竟出人意料地得到红色和蓝色的电子（见图8）。这简直是不可思议的结果：测量又红又软的电子的“颜色”时，我们居然有一半的几率会看到蓝色。（当然另一半的几率会看到红色）。类似地，如果我们再次测量 |蓝软〉这束又蓝又软的电子的“颜色”时，实际上我们也会看红色和蓝色（见图8），和对 |红软〉的观测结果一模一样。真是实验越多越糊涂。

图8：先测量电子的“颜色”，接着测量电子的“硬度”，最后再测量电子的“颜色”。这是我们实际得到的结果。

为了把这个问题搞清楚，让我们做更多的实验。进一步的实验表明，如果我们对 |红软〉和 |蓝软〉这两束电子做相同的测量，我们总是得到完全相同的结果。|红软〉和 |蓝软〉这两种状态是完全不可区分的。我们应该认为它们是同一个态：|红软〉=|蓝软〉。

仔细观察图8，我们发现，测量红色电子的“硬度”后，会得到软电子和硬电子。可是当我们再测量软电子的颜色时，我们发现这个软电子忘了它原来是个红电子，变成了一个颜色不确定的电子。所以图8中把这个电子叫做 |红软〉是不合适的，因为它其实没有确定的颜色。类似地，当我们测量蓝色电子的“硬度”后，也会得到软电子和硬电子。但这个软电子也会忘了它原来是个蓝电子，变成了一个颜色不确定的电子。这个从蓝电子得到的软电子和从红电子得到的软电子，一模一样，不可区分。原来颜色的信息完全丢掉了。所以图8中的标记是不正确的。我们应当把它重新画成下面的图9。

图9：先测量电子的“颜色”，接着测量电子的“硬度”，最后再测量电子的“颜色”。这是我们实际得到的结果和正确的标记。

更一般地讲，不管进入“硬度”测量仪的电子是处于什么样的态，经“硬度”测量仪分离出来的软态总是同一个态，分离出来的硬态也总是同一个态。类似的，不管进入“颜色”测量仪的电子是处于什么样的态，经“颜色”测量仪分离出来的红态总是同一个态，分离出来的蓝态也总是同一个态。

这种对电子自旋的测量和研究，揭示了我们量子世界中的测不准原理。“颜色”（自旋竖分量）和“硬度”（自旋横分量）有一个互不相容的性质。如果一个电子有了确定的“硬度”，那么它就没有确定的“颜色”。如果它有确定的“颜色”，那它就没有确定的“硬度”。对“硬度”的测量会影响电子的“颜色”，对“颜色”的测量会影响电子的“硬度”（见图9）。

当然“颜色”和它自己是相容的。也就是说如果我们测量“颜色”以后再测量“颜色”，我们会得到同样的颜色。多次测量颜色，不会改变一个电子的颜色（见图10）。

图10：多次测量颜色，不会改变电子的颜色。

通过图6的实验，我们把一束电子分成四束。我们想试图说明电子有不同“颜色”不同“硬度”的四种状态。可是根据上面所描写的更多实验，我们发现图6这四束电子中，有两束代表同一个状态。另外两束代表另一个相同状态。所以最后我们只得到两种不同的状态。所以图6对测量的描述不太准确。更准确地描述由图11所示。

把四个态“装”到两个态里：量子叠加态

图11：测量电子的“颜色”之后，再接着测量电子的“硬度”。虽然这样把一束电子分成四束，但其只代表两种不同状态。

图11中我们用了四个标志 |红〉，|蓝〉 ， |软〉，|硬〉来标志电子的自旋态。这是不是说明电子有四个态？这里我们想说明，在经典图像中，物体状态这个概念有一个相互排斥的性质。也就是说，一个体系如果有两个可能的状态A和B，那就意味着如果体系处于A态，那就一定不处于B态；如果体系处于B态，那它一定不处于A态。

通过图10所示的实验观察，我们发现如果测量红电子的颜色，我们只能得到红色而得不到蓝色；如果测量蓝电子的颜色，我们只能得到蓝色而得不到红色。这说明 |红〉、|蓝〉这两个态有相互排斥的性质。也就是说一个红电子一定不是蓝电子；一个蓝电子也一定不是红电子。类似的，|软〉、|硬〉这两个态也有相互排斥的性质。一个软电子一定不是硬电子；一个硬电子也一定不是软电子。我们这里好像在说废话。

可是 |红〉态和 |软〉态就没有相互排斥的性质。如图9所示，如果我们测量红电子的硬度，我们有时候会感到软，说明 |红〉态和 |软〉态不相互排斥；我们有时候也会感到硬，这说明 |红〉态和 |硬〉态也不相互排斥。类似的，|蓝〉态和 |软〉，|硬〉态也都没有相互排斥的性质。这种相互不排斥状态的存在是量子世界中的新现象，是经典理论中没有的概念。这也是量子理论诡异的起源。

从图11中我们看到，|红〉态中含有 |软〉态也有 |硬〉态。所以当我们测量红电子的硬度时，我们发现它是一个又软又硬的电子。但显然一个红电子不是一个软电子，也不是一个硬电子。所以我们说红电子是一个又软又硬不软不硬的电子：它是一个微观的薛定谔猫。数学上我们把 |红〉态记为：|红〉= |软〉+ |硬〉。这就是量子理论中叠加态的概念：|红〉态是 |软〉态和 |硬〉态的叠加。图9就是逼出这一概念的实验。

图12：当我们把从一束红电子中得出的软电子和硬电子重新结合起来之后，我们又会重新得到红电子。类似地，如果我们把从一束蓝电子中得出的软电子和硬电子重新结合起来，我们会重新得到蓝电子。

量子叠加不仅仅是一个抽象的数学概念，它也是一个可以在实验室中实现的实际操作（见图12）。我们上面说过，一束红电子通过“硬度”测量仪可以分裂为一束软电子和一束硬电子。如果用反射镜把这束软电子和这束硬电子重新结合起来，我们居然重新得到一束红电子！这不是科学幻想。这是在实验室中实际观测到的结果，这就是我们奥妙神奇的量子世界，这就是我们为什么把红态表示为：|红〉= |软〉+ |硬〉。

从图11我们又看到 |蓝〉态也是一个又软又硬不软不硬的态。我们也想把 |蓝〉态记为：|蓝〉= |软〉+ |硬〉。但这样 |红〉和 |蓝〉就完全一样了。这是不可接受的，因为 |红〉和 |蓝〉明明是完全不同、而且相互排斥的态。为区别 |红〉和 |蓝〉，我们把 |蓝〉态记为：|蓝〉= |软〉- |硬〉。这样 |蓝〉态是 |软〉态和 |硬〉态的一个不同的叠加，其中叠加系数有个负号。

上面我们利用 |红〉和 |蓝〉来描写自旋 |上〉和 |下〉两个态。我们利用 |软〉和 |硬〉来描写自旋 |左〉和 |右〉两个态。下面我们将回到自旋的语言。这样关系 |红〉= |软〉+|硬〉和 |蓝〉= |软〉- |硬〉就变成 |上〉= |左〉+ |右〉和 |下〉= |左〉- |右〉。这说明 |上〉态是一个又左又右、不左不右的态。|下〉态也是一个又左又右、不左不右的态。通过这两个关系，我们可以得到 |左〉= 2(|上〉+ |下〉)~ |上〉+ |下〉和 |右〉= 2(|上〉- |下〉）~ |上〉- |下〉（在这里，系数2被忽略了，见下节）。所以 |左〉态是一个又上又下、不上不下的态。也是一个薛定谔猫态。我们这种对自旋态的量子看法满足空间90度旋转对称性。

什么是量子比特？

在经典物理中，最简单的系统就是一个比特。一个比特只有两个态：0和1。比如我们可以把0和1这两个态看作是上面所讲的自旋|上〉，|下〉两个态。而量子叠加原理告诉我们：任何两个态的叠加也是一个可能的态。所以一个量子比特，不仅有|0〉和|1〉两个态，还有它们的任意叠加态：

|ψ〉= ψ₀ |0〉+ ψ₁ |1〉

这里ψ₀ 和 ψ₁ 是两个复数，被称为叠加系数。我们发现一个量子比特可以有无穷多个不同的状态，这些状态由两个复数 ψ₀ 和 ψ₁ 来刻画。当然这无穷多个态大多都不是相互排斥的。我们最多有两个相互排斥的态，如  |0〉和 |1〉，|0〉+ |1〉和 |0〉- |1〉，等等。

为什么叠加系数必须是复数？这也是一个非常深刻的问题。我们知道自旋的指向是三维的。不仅有上下左右四个方向。还有前后两个方向。自旋 |前〉态是一个不上不下又上又下态，也是一个不左不右又左又右的态。我们想把 |前〉态写为 |前〉= |上〉+ |下〉。但这是不对的。因为 |上〉+ |下〉已被用来表示 |左〉态。我们发现只有引入复数 i，才能把 |前〉态表示为 |上〉|下〉的叠加态：|前〉= |上〉+ i|下〉。类似的自旋向后的 |后〉态是 |上〉|下〉的另外一个叠加态：|后〉= |上〉- i|下〉。这样 |前〉态是一个不上不下又上又下态，也是一个不左不右又左又右的态。|后〉态是另一个不上不下又上又下态，也是另一个不左不右又左又右的态。所以我们的量子世界要求我们用复数来刻画物质的各种各样量子态。

其实事情还没有这么简单。这两个复数对量子比特状态的刻画不是一一对应的，而是多对一的。两对复数 (ψ₀ , ψ₁) 和 (ψ‘₀ , ψ‘₁) 其实描写的是同一个量子态，如果它们之间有如下关系的话：

ψ₀ = cψ‘₀  ，ψ₁ = cψ'₁

其中，c 是一个任意的复数。所以一个量子比特不同的态对应于一个球面上的点。这就是量子比特状态的布洛赫球表征（图13）。经典比特1和0两种状态对应于南北两极，而量子比特可以处在这两种态的任意叠加态上，由球面上的其它点表示。这些点表达了这么一个又不是0又不是1，但又是0又是1的虚无缥缈的状态。在量子世界中好像连逻辑这一基本推理工具都要被修正了。

图13：布洛赫球：一个量子比特不同的量子态，一一对应于一个球面上的点。我们可以用一个电子的两个自旋态，来实现一个量子比特：自旋向上对应于0态，自旋向下对应于1态。那么自旋向上和自旋向下的叠加态，也就是球面上的其他点，对应于自旋指向那个方向的量子态。比如 |↑〉- |↓〉是一个指向水平x方向的自旋态 |→〉，而 |↑〉- |↓〉是一个指向水平反x方向的自旋态 |←〉。自旋向上的态  |↑〉也可以看成是 |→〉和 |←〉两个态的叠加： |↑〉=  |→〉+ |←〉。

如果我们把1和0两种状态看着是自旋上下两种状态，那么布洛赫球表征就描写了自旋指向各个不同方向的量子态。我们对自旋的量子描写是满足空间任意角度旋转对称性的。

上面我们讲了一个电子的自旋有两种（相互排斥的）状态，其正好实现了一个量子比特。其实光子也有自旋，一个光子的自旋也有两种（相互排斥的）状态，我们也可以用它来实现了一个量子比特。实际上量子通讯就是用光子的自旋——这个量子比特——来实现的。

我们知道光有偏振现象。光的偏振可以有不同的方向，代表了光子自旋的不同的状态（见图14）。这无穷多个偏振方向，表示光子自旋可以有无穷多个不同的状态。但像电子自旋一样，这无穷多个态大多都不是相互排斥的。我们最多有两个相互排斥的态，如竖偏振和横偏振。我们可以用竖偏振代表0，用横偏振代表1。这样一个光子的自旋（偏振态）就是一个量子比特。一个光子还可以有左斜偏振，其对应于一个又横又竖不横不竖的偏振态，记为 |0〉+ |1〉。一个光子也可以有右斜偏振，其对应于另一个又横又竖不横不竖的偏振态，记为 |0〉- |1〉。有一种量子加密通讯就是利用这四种状态的光子来实现的。

图14：一个光子可以有很多偏振态，如竖偏振，横偏振，左斜偏振，右斜偏振，等等。

薛定谔猫

量子比特这不是0不是1，又是0又是1奇怪的状态便是有名的“活猫死猫悖论”的来源。想象在一个密封的盒子中，有一只猫、一瓶毒药、一个榔头，和一个量子比特探测器（图4）。我们给探测器一个量子比特，让其测量。如果量子比特是处于1态的话，榔头就会落下，放出毒药，我们就会得到一只死猫。如果量子比特是处于0态的话，榔头就不会落下，猫还是活的。如果量子比特是处于0和1的一个叠加态，那么过了一段时间，这只猫到底是死的还是活的？按照量子理论，这只猫应该是处于一个不死不活，又死又活的状态。而这种状态的猫被称之为薛定谔猫（图15）。

图15 ：如何把一只可爱的猫，变成一只薛定谔猫

当我们了解薛定谔猫之后，我们就可以了解量子通讯。如果我们只用0态和1态，这两种相互排斥的状态来传递信息的话，那么我们做的就是经典通讯。如果我们用0态和1态，再加上亦0亦1、非0非1的两个态 |0〉+ |1〉和 |0〉- |1〉，这4个相互不排斥的量子态来传递信息的话，那我们做的就是一种形式的量子通讯。以后我们会有文章进一步详细介绍这种形式的量子通讯。

在这篇文章里我用尽量贴近实验的角度，来描写量子存在和量子叠加原理。我想让读者感觉到这一量子新概念是如何被实验逼出来的。这一实验角度正巧和一个非常抽象的数学描写——范畴学理论——非常接近。其实范畴学并不是一门抽象的数学语言，而是一门非常贴近实验的语言，是很值得做物理的学生来掌握的语言。另外我个人对现有的量子理论很不满意，觉得它不是描写我们世界最终正确的理论。要发展出超越量子力学的理论，也许范畴学会起一个关键作用。

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